Google
Câu hỏi: Trong không gian $Oxyz$ cho hai điểm $A\left(1; 2; 3 \right)$ và $B\left(3; 3; 4 \right)$ và mặt phẳng $\left(P \right):x+2y-z=0.$ Gọi ${A}';{B}'$ lần lượt là hình chiếu vuông góc của $A$ và $B$ lên mặt phẳng $\left(P \right)$. Tính độ dài đoạn thẳng ${A}'{B}'$.
A. $\frac{\sqrt{6}}{2}$.
B. $\sqrt{3}$.
C. $\sqrt{6}$.
D. $\frac{3}{\sqrt{2}}$.
A. $\frac{\sqrt{6}}{2}$.
B. $\sqrt{3}$.
C. $\sqrt{6}$.
D. $\frac{3}{\sqrt{2}}$.
Gọi $\varphi $ là góc giữa đường thẳng $AB$ và mặt phẳng $\left(P \right)$.
Mặt phẳng $\left(P \right)$ có vecto pháp tuyến $\overrightarrow{n}=\left(1; 2;-1 \right)$.
$\overrightarrow{AB}=\left(2; 1; 1 \right)$
Ta có $\sin \varphi =\frac{\left| \overrightarrow{n}.\overrightarrow{AB} \right|}{\left| \overrightarrow{n} \right|.\left| \overrightarrow{AB} \right|}=\frac{\left| 1.2+2.1+\left(-1 \right). 1 \right|}{\sqrt{{{1}^{2}}+{{2}^{2}}+{{1}^{2}}}.\sqrt{{{2}^{2}}+{{1}^{2}}+{{1}^{2}}}}=\frac{1}{2}$.
Suy ra $\cos \varphi =\frac{\sqrt{3}}{2}$.
Do đó ${A}'{B}'=AB.\cos \varphi =\sqrt{6}.\frac{\sqrt{3}}{2}=\frac{3}{\sqrt{2}}$.
Mặt phẳng $\left(P \right)$ có vecto pháp tuyến $\overrightarrow{n}=\left(1; 2;-1 \right)$.
$\overrightarrow{AB}=\left(2; 1; 1 \right)$
Ta có $\sin \varphi =\frac{\left| \overrightarrow{n}.\overrightarrow{AB} \right|}{\left| \overrightarrow{n} \right|.\left| \overrightarrow{AB} \right|}=\frac{\left| 1.2+2.1+\left(-1 \right). 1 \right|}{\sqrt{{{1}^{2}}+{{2}^{2}}+{{1}^{2}}}.\sqrt{{{2}^{2}}+{{1}^{2}}+{{1}^{2}}}}=\frac{1}{2}$.
Suy ra $\cos \varphi =\frac{\sqrt{3}}{2}$.
Do đó ${A}'{B}'=AB.\cos \varphi =\sqrt{6}.\frac{\sqrt{3}}{2}=\frac{3}{\sqrt{2}}$.
Đáp án D.