Trong không gian Oxyz, cho hai điểm $A\left( 1;2;3 \right),B\left(...

The Knowledge · 16/12/21

Câu hỏi: Trong không gian Oxyz, cho hai điểm

A (1; 2; 3), B (3; - 2; 1)

và hai mặt cầu

(S_{1}) : x^{2} + y^{2} + z^{2} = 1; (S_{2}) : {(x + 1)}^{2} + {(y - 1)}^{2} + {(z - 1)}^{2} = 4.

Gọi (P) là mặt phẳng chứa đường tròn giao tuyến của hai mặt cầu

(S_{1})

và

(S_{2})

. Điểm

M (a; b; c)

nằm trên

(P)

sao cho

M A + M B

nhỏ nhất. Tính

a + b + c .

A. 3.
B. 4.
C. 1.
D. 2.

Ta có

{(x + 1)}^{2} + {(y - 1)}^{2} + {(z - 1)}^{2} - (x^{2} + y^{2} + z^{2}) = 3

\Leftrightarrow x - y - z = 0 \Rightarrow (P) : x - y - z = 0

.
Thay tọa dộ điểm A, B vào phương trình của

(P)

ta được

{\begin{aligned} f_{A} = 1 - 2 - 3 = - 4 < 0 \\ f_{B} = 3 - (- 2) - 1 = 4 > 0 \end{aligned} \Rightarrow f_{A} . f_{B} < 0

A, B nằm về hai phía đối với

(P)

.
Ta có ngay

M A > M B \geq A B

không đổi, dấu "=" xảy ra M ở giữa A và B.
Đường thẳng AB qua

A (1; 2; 3)

và nhận

\vec{A B} = (2; - 4; - 2)

là một VTCP

\Rightarrow A B : {\begin{aligned} x = 1 + 2 t \\ y = 2 - 4 t \\ z = 3 - 2 t \end{aligned} (t \in R) \Rightarrow M (1 + 2 t; 2 - 4 t; 3 - 2 t)

.
Điểm

M \in (P) \Rightarrow (1 + 2 t) - (2 - 4 t) - (3 - 2 t) = 0 \Leftrightarrow 8 t - 4 = 0 \Leftrightarrow t = \frac{1}{2}

.
Khi đó

M (2; 0; 0) \Rightarrow a + b + c = 4

.

Đáp án B.