Google
Câu hỏi: Trong không gian Oxyz, cho hai điểm $A\left( 1;2;3 \right),B\left( 3;-2;1 \right)$ và hai mặt cầu $\left( {{S}_{1}} \right):{{x}^{2}}+{{y}^{2}}+{{z}^{2}}=1;\left( {{S}_{2}} \right):{{\left( x+1 \right)}^{2}}+{{\left( y-1 \right)}^{2}}+{{\left( z-1 \right)}^{2}}=4.$ Gọi (P) là mặt phẳng chứa đường tròn giao tuyến của hai mặt cầu $\left( {{S}_{1}} \right)$ và $\left( {{S}_{2}} \right)$. Điểm $M\left( a;b;c \right)$ nằm trên $\left( P \right)$ sao cho $MA+MB$ nhỏ nhất. Tính $a+b+c.$
A. 3.
B. 4.
C. 1.
D. 2.
A. 3.
B. 4.
C. 1.
D. 2.
Ta có ${{\left( x+1 \right)}^{2}}+{{\left( y-1 \right)}^{2}}+{{\left( z-1 \right)}^{2}}-\left( {{x}^{2}}+{{y}^{2}}+{{z}^{2}} \right)=3$
$\Leftrightarrow x-y-z=0\Rightarrow \left( P \right):x-y-z=0$.
Thay tọa dộ điểm A, B vào phương trình của $\left( P \right)$ ta được
$\left\{ \begin{aligned}
& {{f}_{A}}=1-2-3=-4<0 \\
& {{f}_{B}}=3-\left( -2 \right)-1=4>0 \\
\end{aligned} \right.\Rightarrow {{f}_{A}}.{{f}_{B}}<0 $ A, B nằm về hai phía đối với $ \left( P \right)$.
Ta có ngay $MA>MB\ge AB$ không đổi, dấu "=" xảy ra M ở giữa A và B.
Đường thẳng AB qua $A\left( 1;2;3 \right)$ và nhận $\overrightarrow{AB}=\left( 2;-4;-2 \right)$ là một VTCP
$\Rightarrow AB:\left\{ \begin{aligned}
& x=1+2t \\
& y=2-4t \\
& z=3-2t \\
\end{aligned} \right.\left( t\in \mathbb{R} \right)\Rightarrow M\left( 1+2t;2-4t;3-2t \right)$.
Điểm $M\in \left( P \right)\Rightarrow \left( 1+2t \right)-\left( 2-4t \right)-\left( 3-2t \right)=0\Leftrightarrow 8t-4=0\Leftrightarrow t=\dfrac{1}{2}$.
Khi đó $M\left( 2;0;0 \right)\Rightarrow a+b+c=4$.
$\Leftrightarrow x-y-z=0\Rightarrow \left( P \right):x-y-z=0$.
Thay tọa dộ điểm A, B vào phương trình của $\left( P \right)$ ta được
$\left\{ \begin{aligned}
& {{f}_{A}}=1-2-3=-4<0 \\
& {{f}_{B}}=3-\left( -2 \right)-1=4>0 \\
\end{aligned} \right.\Rightarrow {{f}_{A}}.{{f}_{B}}<0 $ A, B nằm về hai phía đối với $ \left( P \right)$.
Ta có ngay $MA>MB\ge AB$ không đổi, dấu "=" xảy ra M ở giữa A và B.
Đường thẳng AB qua $A\left( 1;2;3 \right)$ và nhận $\overrightarrow{AB}=\left( 2;-4;-2 \right)$ là một VTCP
$\Rightarrow AB:\left\{ \begin{aligned}
& x=1+2t \\
& y=2-4t \\
& z=3-2t \\
\end{aligned} \right.\left( t\in \mathbb{R} \right)\Rightarrow M\left( 1+2t;2-4t;3-2t \right)$.
Điểm $M\in \left( P \right)\Rightarrow \left( 1+2t \right)-\left( 2-4t \right)-\left( 3-2t \right)=0\Leftrightarrow 8t-4=0\Leftrightarrow t=\dfrac{1}{2}$.
Khi đó $M\left( 2;0;0 \right)\Rightarrow a+b+c=4$.
Đáp án B.