Google
Câu hỏi: Trong không gian $Oxyz$, cho hai điểm $A\left( 1;2;-2 \right)$, $B\left( 2;4;-3 \right)$. Điểm $M$ di động trên mặt phẳng $\left( Oxy \right)$ sao cho $MA$, $MB$ luôn tạo với $\left( Oxy \right)$ các góc phụ nhau. Giá trị lớn nhất của độ dài đoạn thẳng $OM$ thuộc khoảng nào dưới đây?
A. $\left( 4; 5 \right).$
B. $\left( 3; 4 \right).$
C. $\left( 2; 3 \right).$
D. $\left( 6; 7 \right).$
Gọi $H,K$ lần lượt là hình chiếu vuông góc của $A,B$ trên mặt phẳng $\left( Oxy \right)$. Khi đó:
$H\left( 1;2;0 \right)$, $K\left( 2;4;0 \right)$ ; $AH=d\left( A,\left( Oxy \right) \right)=\left| -2 \right|=2$ ; $BK=d\left( B,\left( Oxy \right) \right)=\left| -3 \right|=3$.
Vì $MA$, $MB$ tạo với $\left( Oxy \right)$ các góc phụ nhau nên $\Delta MAH\sim \Delta BMK$.
Suy ra $\dfrac{MA}{MB}=\dfrac{MH}{BK}=\dfrac{AH}{MK}\Rightarrow MH.MK=AH.BK=6$.
Giả sử $M\left( x;y;z \right)$, ta có:
$6=MH.MK\ge \overrightarrow{MH}.\overrightarrow{MK}=(1-x).(2-x)+(2-y)(4-y)+-(z).(-z)$.
$\Leftrightarrow {{x}^{2}}+{{y}^{2}}+{{z}^{2}}-3x-6y+4\le 0$.
Đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi hai vectơ $\overrightarrow{MH},\ \overrightarrow{MK}$ cùng hướng.
Do đó, $M$ luôn thuộc hình tròn $\left( C \right)$ là giao tuyến của khối cầu $\left( S \right):{{x}^{2}}+{{y}^{2}}+{{z}^{2}}-3x-6y+4\le 0$ và mặt phẳng $\left( Oxy \right)$.
Hình tròn $\left( C \right)$ có tâm $I\left( \dfrac{3}{2};3;0 \right)$ là trung điểm của $HK$ và bán kính $R=\dfrac{\sqrt{29}}{2}$.
Do $O$ nằm ngoài $\left( C \right)$ và bốn điểm $O,\ H,\ I,\ K$ thẳng hàng nên giá trị lớn nhất của độ dài đoạn thẳng $OM$ là $\max OM=OI+R=\dfrac{3\sqrt{5}+\sqrt{29}}{2}\approx 6,045$.
A. $\left( 4; 5 \right).$
B. $\left( 3; 4 \right).$
C. $\left( 2; 3 \right).$
D. $\left( 6; 7 \right).$
$H\left( 1;2;0 \right)$, $K\left( 2;4;0 \right)$ ; $AH=d\left( A,\left( Oxy \right) \right)=\left| -2 \right|=2$ ; $BK=d\left( B,\left( Oxy \right) \right)=\left| -3 \right|=3$.
Vì $MA$, $MB$ tạo với $\left( Oxy \right)$ các góc phụ nhau nên $\Delta MAH\sim \Delta BMK$.
Suy ra $\dfrac{MA}{MB}=\dfrac{MH}{BK}=\dfrac{AH}{MK}\Rightarrow MH.MK=AH.BK=6$.
Giả sử $M\left( x;y;z \right)$, ta có:
$6=MH.MK\ge \overrightarrow{MH}.\overrightarrow{MK}=(1-x).(2-x)+(2-y)(4-y)+-(z).(-z)$.
$\Leftrightarrow {{x}^{2}}+{{y}^{2}}+{{z}^{2}}-3x-6y+4\le 0$.
Đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi hai vectơ $\overrightarrow{MH},\ \overrightarrow{MK}$ cùng hướng.
Do đó, $M$ luôn thuộc hình tròn $\left( C \right)$ là giao tuyến của khối cầu $\left( S \right):{{x}^{2}}+{{y}^{2}}+{{z}^{2}}-3x-6y+4\le 0$ và mặt phẳng $\left( Oxy \right)$.
Do $O$ nằm ngoài $\left( C \right)$ và bốn điểm $O,\ H,\ I,\ K$ thẳng hàng nên giá trị lớn nhất của độ dài đoạn thẳng $OM$ là $\max OM=OI+R=\dfrac{3\sqrt{5}+\sqrt{29}}{2}\approx 6,045$.
Đáp án D.