Google
Câu hỏi: Trong không gian $Oxyz$, cho hai điểm $A\left( -1;2;2 \right)$, $B\left( 3;2;6 \right)$. Xét hai điểm $M$, $N$ thay đổi thuộc mặt phẳng $\left( Oxy \right)$ sao cho $MN=16$. Giá trị nhỏ nhất của $AM+BN$ bằng.
A. $4\sqrt{13}$.
B. $4\sqrt{5}$.
C. $5\sqrt{3}$.
D. $2\sqrt{15}$.
A. $4\sqrt{13}$.
B. $4\sqrt{5}$.
C. $5\sqrt{3}$.
D. $2\sqrt{15}$.
Gọi $A'\left( -1;2;0 \right)$, $B'\left( 3;2;0 \right)$ lần lượt là hình chiếu của $A$, $B$ trên $\left( Oxy \right)$, khi đó:
$AM+BN=\sqrt{AA{{'}^{2}}+A'{{M}^{2}}}+\sqrt{BB{{'}^{2}}+B'{{N}^{2}}}\ge \sqrt{{{\left( AA'+BB' \right)}^{2}}+{{\left( A'M+B'N \right)}^{2}}}$.
Ta có $MA'+A'B'+B'N\ge MN\Leftrightarrow A'M+NB'\ge MN-A'B'\Leftrightarrow A'M+NB'\ge 12$.
Nên $AM+BN\ge \sqrt{{{\left( AA'+BB' \right)}^{2}}+{{\left( A'M+B'N \right)}^{2}}}=\sqrt{{{8}^{2}}+{{12}^{2}}}=4\sqrt{13}$.
Đẳng thức xảy ra $\Leftrightarrow $ $M$, $A'$, $B'$, $N$ theo thứ tự thẳng hàng và $\dfrac{AA'}{BB'}=\dfrac{A'M}{B'N}=3$.
$AM+BN=\sqrt{AA{{'}^{2}}+A'{{M}^{2}}}+\sqrt{BB{{'}^{2}}+B'{{N}^{2}}}\ge \sqrt{{{\left( AA'+BB' \right)}^{2}}+{{\left( A'M+B'N \right)}^{2}}}$.
Ta có $MA'+A'B'+B'N\ge MN\Leftrightarrow A'M+NB'\ge MN-A'B'\Leftrightarrow A'M+NB'\ge 12$.
Nên $AM+BN\ge \sqrt{{{\left( AA'+BB' \right)}^{2}}+{{\left( A'M+B'N \right)}^{2}}}=\sqrt{{{8}^{2}}+{{12}^{2}}}=4\sqrt{13}$.
Đẳng thức xảy ra $\Leftrightarrow $ $M$, $A'$, $B'$, $N$ theo thứ tự thẳng hàng và $\dfrac{AA'}{BB'}=\dfrac{A'M}{B'N}=3$.
Đáp án A.
