Google
Câu hỏi: Trong không gian $Oxyz$, cho hai điểm $A\left( -1 ; -2 ; 1 \right)$, $B\left( 3 ; 2 ; -1 \right)$ và mặt phẳng $\left( \alpha \right):x-2y+2z-5=0$. Xét $M$ là điểm thay đổi thuộc $\left( \alpha \right)$, tìm giá trị nhỏ nhất của $P=3M{{A}^{2}}+2M{{B}^{2}}$.
A. $\dfrac{440}{9}$.
B. $\dfrac{728}{15}$.
C. $\dfrac{821}{15}$.
D. $\dfrac{119}{5}$.
A. $\dfrac{440}{9}$.
B. $\dfrac{728}{15}$.
C. $\dfrac{821}{15}$.
D. $\dfrac{119}{5}$.
Gọi $I\left( x ; y ; z \right)$ là điểm thỏa mãn $3\overrightarrow{IA}+2\overrightarrow{IB}=0$ $\Rightarrow I\left( \dfrac{3}{5};\dfrac{-2}{5};\dfrac{1}{5} \right)$.
Khi đó: $P=3{{\left( \overrightarrow{MI}+\overrightarrow{IA} \right)}^{2}}+2{{\left( \overrightarrow{MI}+\overrightarrow{IB} \right)}^{2}}$ $=5M{{I}^{2}}+3I{{A}^{2}}+2I{{B}^{2}}$ $=5M{{I}^{2}}+\dfrac{216}{5}$.
$P$ đạt giá trị nhỏ nhất khi $MI$ nhỏ nhất $\Leftrightarrow $ $MI=d\left( I,\left( \alpha \right) \right)$ $=\dfrac{\left| \dfrac{3}{5}-2.\left( \dfrac{-2}{5} \right)+2.\dfrac{1}{5}-5 \right|}{\sqrt{{{1}^{2}}+{{\left( -2 \right)}^{2}}+{{2}^{2}}}}=\dfrac{16}{15}$.
Vậy giá trị nhỏ nhất của $P$ bằng $5.{{\left( \dfrac{16}{15} \right)}^{2}}+\dfrac{216}{5}$ $=\dfrac{440}{9}$.
Khi đó: $P=3{{\left( \overrightarrow{MI}+\overrightarrow{IA} \right)}^{2}}+2{{\left( \overrightarrow{MI}+\overrightarrow{IB} \right)}^{2}}$ $=5M{{I}^{2}}+3I{{A}^{2}}+2I{{B}^{2}}$ $=5M{{I}^{2}}+\dfrac{216}{5}$.
$P$ đạt giá trị nhỏ nhất khi $MI$ nhỏ nhất $\Leftrightarrow $ $MI=d\left( I,\left( \alpha \right) \right)$ $=\dfrac{\left| \dfrac{3}{5}-2.\left( \dfrac{-2}{5} \right)+2.\dfrac{1}{5}-5 \right|}{\sqrt{{{1}^{2}}+{{\left( -2 \right)}^{2}}+{{2}^{2}}}}=\dfrac{16}{15}$.
Vậy giá trị nhỏ nhất của $P$ bằng $5.{{\left( \dfrac{16}{15} \right)}^{2}}+\dfrac{216}{5}$ $=\dfrac{440}{9}$.
Đáp án A.