Google
Câu hỏi: Trong không gian $Oxyz,$ cho hai điểm $A\left( 1;2;1 \right),$ $B\left( 2;-1;3 \right)$ và điểm $M\left( a;b;0 \right)$ sao cho tổng $M{{A}^{2}}+M{{B}^{2}}$ nhỏ nhất. Giá trị của $a+b$ bằng
A. $-2.$
B. 2.
C. 3.
D. 1.
A. $-2.$
B. 2.
C. 3.
D. 1.
Nhận xét $M\left( a;b;0 \right)\Rightarrow M\in \left( Oxy \right)$
Gọi $I\left( \dfrac{3}{2};\dfrac{1}{2};2 \right)$ là trung điểm của $AB$ ta có: $M{{A}^{2}}+M{{B}^{2}}={{\overrightarrow{MA}}^{2}}+{{\overrightarrow{MB}}^{2}}$
$={{\left( \overrightarrow{MI}+\overrightarrow{IA} \right)}^{2}}+{{\left( \overrightarrow{MI}+\overrightarrow{IB} \right)}^{2}}=2M{{I}^{2}}+2\overrightarrow{MI}\left( \overrightarrow{IA}+\overrightarrow{IB} \right)+I{{A}^{2}}+I{{B}^{2}}=2M{{I}^{2}}+I{{A}^{2}}+I{{B}^{2}}$
Khi đó $M{{A}^{2}}+M{{B}^{2}}$ nhỏ nhất $\Leftrightarrow M{{I}_{\min }}\Leftrightarrow M$ là hình chiếu vuông góc của $I$ trên
$\left( Oxy \right)\Rightarrow M\left( \dfrac{3}{2};\dfrac{1}{2};0 \right).$ Suy ra $a=\dfrac{3}{2},b=\dfrac{1}{2}\Rightarrow a+b=2.$
Gọi $I\left( \dfrac{3}{2};\dfrac{1}{2};2 \right)$ là trung điểm của $AB$ ta có: $M{{A}^{2}}+M{{B}^{2}}={{\overrightarrow{MA}}^{2}}+{{\overrightarrow{MB}}^{2}}$
$={{\left( \overrightarrow{MI}+\overrightarrow{IA} \right)}^{2}}+{{\left( \overrightarrow{MI}+\overrightarrow{IB} \right)}^{2}}=2M{{I}^{2}}+2\overrightarrow{MI}\left( \overrightarrow{IA}+\overrightarrow{IB} \right)+I{{A}^{2}}+I{{B}^{2}}=2M{{I}^{2}}+I{{A}^{2}}+I{{B}^{2}}$
Khi đó $M{{A}^{2}}+M{{B}^{2}}$ nhỏ nhất $\Leftrightarrow M{{I}_{\min }}\Leftrightarrow M$ là hình chiếu vuông góc của $I$ trên
$\left( Oxy \right)\Rightarrow M\left( \dfrac{3}{2};\dfrac{1}{2};0 \right).$ Suy ra $a=\dfrac{3}{2},b=\dfrac{1}{2}\Rightarrow a+b=2.$
Đáp án B.