Trong không gian $O x y z,$ cho hai điểm $A (1; 2; 1),$ ...

The Knowledge · 13/1/22

Câu hỏi: Trong không gian

O x y z,

cho hai điểm

A (1; 2; 1),

B (2; - 1; 3)

và điểm

M (a; b; 0)

sao cho tổng

M A^{2} + M B^{2}

nhỏ nhất. Giá trị của

a + b

bằng
A.

- 2.

B. 2.
C. 3.
D. 1.

Nhận xét

M (a; b; 0) \Rightarrow M \in (O x y)

Gọi

I (\frac{3}{2}; \frac{1}{2}; 2)

là trung điểm của

A B

ta có:

M A^{2} + M B^{2} = {\vec{M A}}^{2} + {\vec{M B}}^{2}

= {(\vec{M I} + \vec{I A})}^{2} + {(\vec{M I} + \vec{I B})}^{2} = 2 M I^{2} + 2 \vec{M I} (\vec{I A} + \vec{I B}) + I A^{2} + I B^{2} = 2 M I^{2} + I A^{2} + I B^{2}

Khi đó

M A^{2} + M B^{2}

nhỏ nhất

\Leftrightarrow M I_{min} \Leftrightarrow M

là hình chiếu vuông góc của

I

trên

(O x y) \Rightarrow M (\frac{3}{2}; \frac{1}{2}; 0) .

Suy ra

a = \frac{3}{2}, b = \frac{1}{2} \Rightarrow a + b = 2.

Đáp án B.

Trong không gian Oxyz, cho hai điểm A(1;2;1),...