Trong không gian Oxyz, cho hai điểm $A\left( 1;1;3 \right),B\left(...

The Professor · 16/12/21

Câu hỏi: Trong không gian Oxyz, cho hai điểm

A (1; 1; 3), B (5; 2; - 1)

và hai điểm M, N thay đổi trên mặt phẳng

(O x y)

sao cho điểm

I (1; 2; 0)

luôn là trung điểm của MN. Khi biểu thức

P = M A^{2} + 2 N B^{2} + \overset{―}{M A} . \overset{―}{N B}

đạt giá trị nhỏ nhất. Tính

T = 2 x_{M} - 4 x_{N} + 7 y_{M} - y_{N}

.
A.

T = - 10

.
B.

T = - 12

.
C.

T = - 11

.
D.

T = - 9

.

Gọi M, N thuộc

(x O y)

nên

M (x_{M}; y_{M}; 0), N (x_{N}; y_{N}; 0)

, theo giả thiết ta có hệ

{\begin{aligned} x_{M} + x_{N} = 2 \\ y_{M} + y_{N} = 4 \end{aligned}

.
Khi đó

\vec{M A} = (1 - x_{M}; 1 - y_{M}; 3), \vec{N B} = (5 - x_{N}; 2 - y_{N}; - 1) = (x_{M} + 3; y_{M} - 2; - 1)

P = M A^{2} + 2 N B^{2} + \vec{M A} \vec{N B}

= {(1 - x_{M})}^{2} + {(1 - y_{M})}^{2} + 9 + 2 {(x_{M} + 3)}^{2} + 2 {(y_{M} - 2)}^{2} + 1 + (1 - x_{M}) (x_{M} + 3) + (1 - y_{M}) (y_{M} - 2) - 3

= 2 x_{M}^{2} + 8 x_{M} + 2 y_{M}^{2} - 7 y_{M} + 37 = 2 {(x_{M} + 2)}^{2} + 2 {(y_{M} - \frac{7}{4})}^{2} + \frac{183}{8} \geq \frac{183}{8}

P đạt giá trị nhỏ nhất bằng

\frac{183}{8}

khi

{\begin{aligned} x_{M} = - 2 \\ y_{M} = \frac{7}{4} \end{aligned} \Rightarrow {\begin{aligned} x_{N} = 4 \\ y_{N} = \frac{9}{4} \end{aligned}

Vậy

T = 2 x_{M} - 4 x_{N} + 7 y_{M} - y_{N} = 2. (- 2) - 4.4 + 7. \frac{7}{4} - \frac{9}{4} = - 10

.

Đáp án A.