Trong không gian Oxyz, cho hai điểm $A\left( 1;1;3 \right),B\left(...

Gọi M, N thuộc $\left( xOy \right)$ nên $M\left( {{x}_{M}};{{y}_{M}};0 \right),N\left( {{x}_{N}};{{y}_{N}};0 \right)$, theo giả thiết ta có hệ $\left\{ \begin{aligned}
& {{x}_{M}}+{{x}_{N}}=2 \\
& {{y}_{M}}+{{y}_{N}}=4 \\
\end{aligned} \right.$.
Khi đó $\overrightarrow{MA}=\left( 1-{{x}_{M}};1-{{y}_{M}};3 \right),\overrightarrow{NB}=\left( 5-{{x}_{N}};2-{{y}_{N}};-1 \right)=\left( {{x}_{M}}+3;{{y}_{M}}-2;-1 \right)$
$P=M{{A}^{2}}+2N{{B}^{2}}+\overrightarrow{MA}\overrightarrow{NB}$
$={{\left( 1-{{x}_{M}} \right)}^{2}}+{{\left( 1-{{y}_{M}} \right)}^{2}}+9+2{{\left( {{x}_{M}}+3 \right)}^{2}}+2{{\left( {{y}_{M}}-2 \right)}^{2}}+1+\left( 1-{{x}_{M}} \right)\left( {{x}_{M}}+3 \right)+\left( 1-{{y}_{M}} \right)\left( {{y}_{M}}-2 \right)-3$
$=2x_{M}^{2}+8{{x}_{M}}+2y_{M}^{2}-7{{y}_{M}}+37=2{{\left( {{x}_{M}}+2 \right)}^{2}}+2{{\left( {{y}_{M}}-\dfrac{7}{4} \right)}^{2}}+\dfrac{183}{8}\ge \dfrac{183}{8}$
P đạt giá trị nhỏ nhất bằng $\dfrac{183}{8}$ khi $\left\{ \begin{aligned}
& {{x}_{M}}=-2 \\
& {{y}_{M}}=\dfrac{7}{4} \\
\end{aligned} \right.\Rightarrow \left\{ \begin{aligned}
& {{x}_{N}}=4 \\
& {{y}_{N}}=\dfrac{9}{4} \\
\end{aligned} \right.$
Vậy $T=2{{x}_{M}}-4{{x}_{N}}+7{{y}_{M}}-{{y}_{N}}=2.\left( -2 \right)-4.4+7.\dfrac{7}{4}-\dfrac{9}{4}=-10$.