Google
Câu hỏi: Trong không gian $Oxyz,$ cho hai điểm $A\left( 1;1;-1 \right),B\left( 7;-2;2 \right)$ và đường thẳng $\Delta :\left\{ \begin{aligned}
& x=-1+3t \\
& y=2-2t \\
& z=2+2t \\
\end{aligned} \right.. $ Gọi $ \left( P \right) $ là mặt phẳng chứa đường thẳng $ \Delta , $ khoảng cách từ $ A $ đến $ \left( P \right) $ gấp đôi khoảng cách từ $ B $ đến $ \left( P \right) $ và $ A,B $ nằm khác phía với $ \left( P \right). $ Biết rằng phương trình $ \left( P \right) $ có dạng: $ ax+by+cz-28=0. $ Giá trị của $ a+b+c$ bằng
A. $-26$
B. 26
C. $-34$
D. 34
& x=-1+3t \\
& y=2-2t \\
& z=2+2t \\
\end{aligned} \right.. $ Gọi $ \left( P \right) $ là mặt phẳng chứa đường thẳng $ \Delta , $ khoảng cách từ $ A $ đến $ \left( P \right) $ gấp đôi khoảng cách từ $ B $ đến $ \left( P \right) $ và $ A,B $ nằm khác phía với $ \left( P \right). $ Biết rằng phương trình $ \left( P \right) $ có dạng: $ ax+by+cz-28=0. $ Giá trị của $ a+b+c$ bằng
A. $-26$
B. 26
C. $-34$
D. 34
Cách giải:
Gọi $H,K$ lần lượt là hình chiếu vuông góc của $A,B$ lên mặt phẳng $\left( P \right)$ và $I\left( x;y;z \right)$ là giao điểm của $AB$ với mặt phẳng $\left( P \right).$
Khi đó $\Delta AHI$ đồng dạng $\Delta BKI$ nên ta có: $\dfrac{AH}{BK}=\dfrac{AI}{BI}=2$
$\Rightarrow \overrightarrow{AI}=2\overrightarrow{BI}\Rightarrow \left\{ \begin{aligned}
& x-1=2\left( x-7 \right) \\
& y-1=2\left( y+2 \right) \\
& z+1=2\left( z-2 \right) \\
\end{aligned} \right.\Rightarrow \left\{ \begin{aligned}
& x=5 \\
& y=-1 \\
& z=1 \\
\end{aligned} \right.\Rightarrow I\left( 5;-1;1 \right).$
Mặt phẳng $\left( P \right)$ chứa $\Delta $ và $I$ nên $\overrightarrow{n}=\left[ \overrightarrow{{{u}_{\Delta }}},\overrightarrow{MI} \right]$ với $M\left( -1;2;2 \right)\in \Delta $
Suy ra $\overrightarrow{{{n}_{\left( P \right)}}}=\left( 8;15;3 \right).$
Mặt phẳng $\left( P \right)$ đi qua $I$ và nhận $\overrightarrow{{{n}_{\left( P \right)}}}=\left( 8;15;3 \right)$ là vectơ pháp tuyến có phương trình là:
$8x+15y+3z-28=0.$
Giá trị $a+b+c=26$
Gọi $H,K$ lần lượt là hình chiếu vuông góc của $A,B$ lên mặt phẳng $\left( P \right)$ và $I\left( x;y;z \right)$ là giao điểm của $AB$ với mặt phẳng $\left( P \right).$
Khi đó $\Delta AHI$ đồng dạng $\Delta BKI$ nên ta có: $\dfrac{AH}{BK}=\dfrac{AI}{BI}=2$
$\Rightarrow \overrightarrow{AI}=2\overrightarrow{BI}\Rightarrow \left\{ \begin{aligned}
& x-1=2\left( x-7 \right) \\
& y-1=2\left( y+2 \right) \\
& z+1=2\left( z-2 \right) \\
\end{aligned} \right.\Rightarrow \left\{ \begin{aligned}
& x=5 \\
& y=-1 \\
& z=1 \\
\end{aligned} \right.\Rightarrow I\left( 5;-1;1 \right).$
Mặt phẳng $\left( P \right)$ chứa $\Delta $ và $I$ nên $\overrightarrow{n}=\left[ \overrightarrow{{{u}_{\Delta }}},\overrightarrow{MI} \right]$ với $M\left( -1;2;2 \right)\in \Delta $
Suy ra $\overrightarrow{{{n}_{\left( P \right)}}}=\left( 8;15;3 \right).$
Mặt phẳng $\left( P \right)$ đi qua $I$ và nhận $\overrightarrow{{{n}_{\left( P \right)}}}=\left( 8;15;3 \right)$ là vectơ pháp tuyến có phương trình là:
$8x+15y+3z-28=0.$
Giá trị $a+b+c=26$
Đáp án B.