Google
Câu hỏi: Trong không gian $Oxyz$, cho hai điểm $A\left( 0;3;0 \right)$, $B\left( 0;0;-4 \right)$ và mặt phẳng $\left( P \right):x+2z=0$. Gọi điểm $C$ thuộc $Ox$ sao cho mặt phẳng $\left( ABC \right)$ vuông góc với mặt phẳng $\left( P \right)$. Tọa độ tâm mặt cầu ngoại tiếp tứ diện $OABC$ là
A. $\left( 1;\dfrac{3}{2};-2 \right)$.
B. $\left( -1;-\dfrac{3}{2};2 \right)$.
C. $\left( \dfrac{1}{2};\dfrac{3}{2};-1 \right)$.
D. $\left( 1;0;-2 \right)$.
Ta có $C\in Ox\Rightarrow C\left( a;0;0 \right)\Rightarrow {{\overrightarrow{n}}_{ABC}}=\left[ \overrightarrow{AB},\overrightarrow{AC} \right]=\left( -12;-4a;3a \right)$.
Mà $\left( ABC \right)\bot \left( P \right)\Rightarrow {{\overrightarrow{n}}_{ABC}}\bot {{\overrightarrow{n}}_{P}}\Leftrightarrow {{\overrightarrow{n}}_{ABC}}.{{\overrightarrow{n}}_{P}}=0\Leftrightarrow -12+6a=0\Leftrightarrow a=2\Rightarrow C\left( 2;0;0 \right)$.
Gọi mặt cầu ngoại tiếp tứ diện $OABC$ là $\left( S \right):{{x}^{2}}+{{y}^{2}}+{{z}^{2}}+ax+by+cz+d=0$. Vì mặt cầu đi qua 4 điểm $O, A, B, C$ nên ta có hệ phương trình
$\left\{ \begin{matrix}
d=0 \\
9+3b=0 \\
16-4c=0 \\
4+2a=0 \\
\end{matrix} \right.\Leftrightarrow \left\{ \begin{matrix}
a=-2 \\
b=-3 \\
c=4 \\
d=0 \\
\end{matrix} \right.\Rightarrow C\left( 1;\dfrac{3}{2};-2 \right)$
A. $\left( 1;\dfrac{3}{2};-2 \right)$.
B. $\left( -1;-\dfrac{3}{2};2 \right)$.
C. $\left( \dfrac{1}{2};\dfrac{3}{2};-1 \right)$.
D. $\left( 1;0;-2 \right)$.
Ta có $C\in Ox\Rightarrow C\left( a;0;0 \right)\Rightarrow {{\overrightarrow{n}}_{ABC}}=\left[ \overrightarrow{AB},\overrightarrow{AC} \right]=\left( -12;-4a;3a \right)$.
Mà $\left( ABC \right)\bot \left( P \right)\Rightarrow {{\overrightarrow{n}}_{ABC}}\bot {{\overrightarrow{n}}_{P}}\Leftrightarrow {{\overrightarrow{n}}_{ABC}}.{{\overrightarrow{n}}_{P}}=0\Leftrightarrow -12+6a=0\Leftrightarrow a=2\Rightarrow C\left( 2;0;0 \right)$.
Gọi mặt cầu ngoại tiếp tứ diện $OABC$ là $\left( S \right):{{x}^{2}}+{{y}^{2}}+{{z}^{2}}+ax+by+cz+d=0$. Vì mặt cầu đi qua 4 điểm $O, A, B, C$ nên ta có hệ phương trình
$\left\{ \begin{matrix}
d=0 \\
9+3b=0 \\
16-4c=0 \\
4+2a=0 \\
\end{matrix} \right.\Leftrightarrow \left\{ \begin{matrix}
a=-2 \\
b=-3 \\
c=4 \\
d=0 \\
\end{matrix} \right.\Rightarrow C\left( 1;\dfrac{3}{2};-2 \right)$
Đáp án A.