Google
Câu hỏi: Trong không gian $Oxyz$, cho hai điểm $A\left( 0;1;2 \right)$ và $B\left( 3;1;2 \right)$. Gọi $\left( P \right)$ là mặt phẳng đi qua $A$ và song song với véc-tơ $\overrightarrow{u}=\left( 1;-1;1 \right)$ và cách điểm $B$ một khoảng lớn nhất. Tọa độ giao điểm $M$ của $\left( P \right)$ và trục $Ox$ là
A. $M\left( -\dfrac{1}{2};0;0 \right)$.
B. $M\left( -\dfrac{1}{3};0;0 \right)$.
C. $M\left( 1;0;0 \right)$.
D. $M\left( -\dfrac{1}{3};0;0 \right)$
A. $M\left( -\dfrac{1}{2};0;0 \right)$.
B. $M\left( -\dfrac{1}{3};0;0 \right)$.
C. $M\left( 1;0;0 \right)$.
D. $M\left( -\dfrac{1}{3};0;0 \right)$
Gọi phương trình mặt phẳng $\left( P \right)$ là $ax+by+cz+d=0$.
Do mặt phẳng $\left( P \right)$ đi qua điểm $A\left( 0;1;2 \right)$ nên $b+2c+d=0$.
Do $\left( P \right)\text{//}\overrightarrow{u}$ nên pháp tuyến của $\left( P \right)$ là $\overrightarrow{{{n}_{\left( P \right)}}}=\left( a;b;c \right)$ vuông góc với $\overrightarrow{u}$. Suy ra $a-b+c=0$.
Khoảng cách từ $B$ đến mặt phẳng $\left( P \right)$ là
$d\left( B,\left( P \right) \right)=\dfrac{\left| 3a+b+2c+d \right|}{\sqrt{{{a}^{2}}+{{b}^{2}}+{{c}^{2}}}}=\dfrac{\left| 3a \right|}{\sqrt{{{a}^{2}}+{{c}^{2}}+{{\left( a+c \right)}^{2}}}}=\sqrt{\dfrac{9{{a}^{2}}}{2{{a}^{2}}+2ac+2{{c}^{2}}}}=\sqrt{\dfrac{9}{2{{\left( \dfrac{c}{a} \right)}^{2}}+2\dfrac{c}{a}+2}}$.
Xét hàm $f\left( t \right)=2{{t}^{2}}+2t+2$, hàm số đạt giá trị nhỏ nhất bằng $\dfrac{3}{2}$ khi $t=-\dfrac{1}{2}$.
Từ đó suy ra $d\left( B,\left( P \right) \right)$ đạt giá trị lớn nhất bằng $\sqrt{\dfrac{9}{\dfrac{3}{2}}}=\sqrt{6}$ khi $\dfrac{c}{a}=-\dfrac{1}{2}$.
Ta chọn $a=2$ theo phần trên ta suy ra $\left\{ \begin{aligned}
& b=1 \\
& c=-1 \\
& d=1 \\
\end{aligned} \right.$.
Do đó phương trình mặt phẳng $\left( P \right): 2x+y-z+1=0$.
Tọa độ giao điểm của $\left( P \right)$ với trục $Ox$ là điểm $M\left( m;0;0 \right)$ thay vào phương trình mặt phẳng $\left( P \right)$ ta có $2m+1=0\Leftrightarrow m=-\dfrac{1}{2}$. Vậy tọa độ điểm $M\left( -\dfrac{1}{2};0;0 \right)$.
Do mặt phẳng $\left( P \right)$ đi qua điểm $A\left( 0;1;2 \right)$ nên $b+2c+d=0$.
Do $\left( P \right)\text{//}\overrightarrow{u}$ nên pháp tuyến của $\left( P \right)$ là $\overrightarrow{{{n}_{\left( P \right)}}}=\left( a;b;c \right)$ vuông góc với $\overrightarrow{u}$. Suy ra $a-b+c=0$.
Khoảng cách từ $B$ đến mặt phẳng $\left( P \right)$ là
$d\left( B,\left( P \right) \right)=\dfrac{\left| 3a+b+2c+d \right|}{\sqrt{{{a}^{2}}+{{b}^{2}}+{{c}^{2}}}}=\dfrac{\left| 3a \right|}{\sqrt{{{a}^{2}}+{{c}^{2}}+{{\left( a+c \right)}^{2}}}}=\sqrt{\dfrac{9{{a}^{2}}}{2{{a}^{2}}+2ac+2{{c}^{2}}}}=\sqrt{\dfrac{9}{2{{\left( \dfrac{c}{a} \right)}^{2}}+2\dfrac{c}{a}+2}}$.
Xét hàm $f\left( t \right)=2{{t}^{2}}+2t+2$, hàm số đạt giá trị nhỏ nhất bằng $\dfrac{3}{2}$ khi $t=-\dfrac{1}{2}$.
Từ đó suy ra $d\left( B,\left( P \right) \right)$ đạt giá trị lớn nhất bằng $\sqrt{\dfrac{9}{\dfrac{3}{2}}}=\sqrt{6}$ khi $\dfrac{c}{a}=-\dfrac{1}{2}$.
Ta chọn $a=2$ theo phần trên ta suy ra $\left\{ \begin{aligned}
& b=1 \\
& c=-1 \\
& d=1 \\
\end{aligned} \right.$.
Do đó phương trình mặt phẳng $\left( P \right): 2x+y-z+1=0$.
Tọa độ giao điểm của $\left( P \right)$ với trục $Ox$ là điểm $M\left( m;0;0 \right)$ thay vào phương trình mặt phẳng $\left( P \right)$ ta có $2m+1=0\Leftrightarrow m=-\dfrac{1}{2}$. Vậy tọa độ điểm $M\left( -\dfrac{1}{2};0;0 \right)$.
Đáp án A.