Trong không gian $Oxyz$, cho hai điểm $A(0;1;2)$ và...

Gọi phương trình mặt phẳng $\left(P\right)$ là $ax+by+cz+d=0$.
Do mặt phẳng $\left(P\right)$ đi qua điểm $A(0;1;2)$ nên $b+2c+d=0$.
Do $\left(P\right)\text{//}\overrightarrow{u}$ nên pháp tuyến của $\left(P\right)$ là $\overrightarrow{n_{\left(P\right)}}=(a;b;c)$ vuông góc với $\overrightarrow{u}$. Suy ra $a-b+c=0$.
Khoảng cách từ $B$ đến mặt phẳng $\left(P\right)$ là
$d(B,\left(P\right))={\displaystyle \frac{|3a+b+2c+d|}{\sqrt{a^2+b^2+c^2}}}={\displaystyle \frac{\left|3a\right|}{\sqrt{a^2+c^2+{(a+c)}^2}}}=\sqrt{{\displaystyle \frac{9a^2}{2a^2+2ac+2c^2}}}=\sqrt{{\displaystyle \frac{9}{2{\left({\displaystyle \frac{c}{a}}\right)}^2+2{\displaystyle \frac{c}{a}}+2}}}$.
Xét hàm $f\left(t\right)=2t^2+2t+2$, hàm số đạt giá trị nhỏ nhất bằng ${\displaystyle \frac{3}{2}}$ khi $t=-{\displaystyle \frac{1}{2}}$.
Từ đó suy ra $d(B,\left(P\right))$ đạt giá trị lớn nhất bằng $\sqrt{{\displaystyle \frac{9}{{\displaystyle \frac{3}{2}}}}}=\sqrt{6}$ khi ${\displaystyle \frac{c}{a}}=-{\displaystyle \frac{1}{2}}$.
Ta chọn $a=2$ theo phần trên ta suy ra $\{\begin{array}{rl}& b=1\\ & c=-1\\ & d=1\end{array}$.
Do đó phương trình mặt phẳng $\left(P\right):2x+y-z+1=0$.
Tọa độ giao điểm của $\left(P\right)$ với trục $Ox$ là điểm $M(m;0;0)$ thay vào phương trình mặt phẳng $\left(P\right)$ ta có $2m+1=0\iff m=-{\displaystyle \frac{1}{2}}$. Vậy tọa độ điểm $M(-{\displaystyle \frac{1}{2}};0;0)$.