Trong không gian Oxyz, cho hai điểm $A\left( 0;1;1 \right),\text{...

The Professor · 16/12/21

Câu hỏi: Trong không gian Oxyz, cho hai điểm

A (0; 1; 1), B (1; 0; 0)

và mặt phẳng

(P) : x + y + z - 3 = 0

. Gọi

(Q)

là mặt phẳng song song với

(P)

đồng thời đường thẳng AB cắt

(Q)

tại C sao cho

C A = 2 C B

. Mặt phẳng

(Q)

có phương trình là:
A.

(Q) : x + y + z - \frac{4}{3} = 0

B.

(Q) : x + y + z = 0

hoặc

(Q) : x + y + z - 2 = 0

C.

(Q) : x + y + z = 0

D.

(Q) : x + y + z - \frac{4}{3} = 0

hoặc

(Q) : x + y + z = 0

Ta có:

(P) // (Q) \Rightarrow

Phương trình mặt phẳng

(Q)

có dạng

x + y + z + c = 0 (c \neq - 3)

.
TH1: Điểm C nằm giữa hai điểm A, B

\Rightarrow \vec{A C} = \frac{2}{3} \vec{A B}

.

\Rightarrow {\begin{aligned} x_{C} = \frac{2}{3} (1 - 0) \\ y_{C} - 1 = \frac{2}{3} (0 - 1) \\ z_{C} - 1 = \frac{2}{3} (0 - 1) \end{aligned} \Leftrightarrow {\begin{aligned} x_{C} = \frac{2}{3} \\ y_{C} = \frac{1}{3} \\ z_{C} = \frac{1}{3} \end{aligned} \Rightarrow C (\frac{2}{3}; \frac{1}{3}; \frac{1}{3})

.

C \in (Q) \Rightarrow \frac{2}{3} + \frac{1}{3} + \frac{1}{3} + c = 0 \Leftrightarrow c = - \frac{4}{3}

(thỏa mãn)

\Rightarrow (Q) : x + y + z - \frac{4}{3} = 0

.
TH2: Điểm C không nằm giữa hai điểm A, B

\Rightarrow \vec{A C} = 2 \vec{A B}

\Rightarrow {\begin{aligned} x_{C} = 2 (1 - 0) \\ y_{C} - 1 = 2 (0 - 1) \\ z_{C} - 1 = 2 (0 - 1) \end{aligned} \Leftrightarrow {\begin{aligned} x_{C} = 2 \\ y_{C} = - 1 \\ z_{C} = - 1 \end{aligned} \Rightarrow C (2; - 1; - 1)

.

C \in (Q) \Rightarrow 2 - 1 - 1 + c = 0 \Leftrightarrow c = 0

(thỏa mãn)

\Rightarrow (Q) : x + y + z = 0

.

Đáp án D.