Google
Câu hỏi: Trong không gian Oxyz, cho hai điểm $A\left( 0;1;1 \right),\text{ B}\left( 1;0;0 \right)$ và mặt phẳng $\left( P \right):x+y+z-3=0$. Gọi $\left( Q \right)$ là mặt phẳng song song với $\left( P \right)$ đồng thời đường thẳng AB cắt $\left( Q \right)$ tại C sao cho $CA=2CB$. Mặt phẳng $\left( Q \right)$ có phương trình là:
A. $\left( Q \right):x+y+z-\dfrac{4}{3}=0$
B. $\left( Q \right):x+y+z=0$ hoặc $\left( Q \right):x+y+z-2=0$
C. $\left( Q \right):x+y+z=0$
D. $\left( Q \right):x+y+z-\dfrac{4}{3}=0$ hoặc $\left( Q \right):x+y+z=0$
A. $\left( Q \right):x+y+z-\dfrac{4}{3}=0$
B. $\left( Q \right):x+y+z=0$ hoặc $\left( Q \right):x+y+z-2=0$
C. $\left( Q \right):x+y+z=0$
D. $\left( Q \right):x+y+z-\dfrac{4}{3}=0$ hoặc $\left( Q \right):x+y+z=0$
Ta có: $\left( P \right)\text{ // }\left( Q \right)\Rightarrow $ Phương trình mặt phẳng $\left( Q \right)$ có dạng $x+y+z+c=0\left( c\ne -3 \right)$.
TH1: Điểm C nằm giữa hai điểm A, B $\Rightarrow \overrightarrow{AC}=\dfrac{2}{3}\overrightarrow{AB}$.
$\Rightarrow \left\{ \begin{aligned}
& {{x}_{C}}=\dfrac{2}{3}\left( 1-0 \right) \\
& {{y}_{C}}-1=\dfrac{2}{3}\left( 0-1 \right) \\
& {{z}_{C}}-1=\dfrac{2}{3}\left( 0-1 \right) \\
\end{aligned} \right.\Leftrightarrow \left\{ \begin{aligned}
& {{x}_{C}}=\dfrac{2}{3} \\
& {{y}_{C}}=\dfrac{1}{3} \\
& {{z}_{C}}=\dfrac{1}{3} \\
\end{aligned} \right.\Rightarrow C\left( \dfrac{2}{3};\dfrac{1}{3};\dfrac{1}{3} \right)$.
$C\in \left( Q \right)\Rightarrow \dfrac{2}{3}+\dfrac{1}{3}+\dfrac{1}{3}+c=0\Leftrightarrow c=-\dfrac{4}{3}$ (thỏa mãn) $\Rightarrow \left( Q \right):x+y+z-\dfrac{4}{3}=0$.
TH2: Điểm C không nằm giữa hai điểm A, B $\Rightarrow \overrightarrow{AC}=2\overrightarrow{AB}$
$\Rightarrow \left\{ \begin{aligned}
& {{x}_{C}}=2\left( 1-0 \right) \\
& {{y}_{C}}-1=2\left( 0-1 \right) \\
& {{z}_{C}}-1=2\left( 0-1 \right) \\
\end{aligned} \right.\Leftrightarrow \left\{ \begin{aligned}
& {{x}_{C}}=2 \\
& {{y}_{C}}=-1 \\
& {{z}_{C}}=-1 \\
\end{aligned} \right.\Rightarrow C\left( 2;-1;-1 \right)$.
$C\in \left( Q \right)\Rightarrow 2-1-1+c=0\Leftrightarrow c=0$ (thỏa mãn) $\Rightarrow \left( Q \right):x+y+z=0$.
TH1: Điểm C nằm giữa hai điểm A, B $\Rightarrow \overrightarrow{AC}=\dfrac{2}{3}\overrightarrow{AB}$.
$\Rightarrow \left\{ \begin{aligned}
& {{x}_{C}}=\dfrac{2}{3}\left( 1-0 \right) \\
& {{y}_{C}}-1=\dfrac{2}{3}\left( 0-1 \right) \\
& {{z}_{C}}-1=\dfrac{2}{3}\left( 0-1 \right) \\
\end{aligned} \right.\Leftrightarrow \left\{ \begin{aligned}
& {{x}_{C}}=\dfrac{2}{3} \\
& {{y}_{C}}=\dfrac{1}{3} \\
& {{z}_{C}}=\dfrac{1}{3} \\
\end{aligned} \right.\Rightarrow C\left( \dfrac{2}{3};\dfrac{1}{3};\dfrac{1}{3} \right)$.
$C\in \left( Q \right)\Rightarrow \dfrac{2}{3}+\dfrac{1}{3}+\dfrac{1}{3}+c=0\Leftrightarrow c=-\dfrac{4}{3}$ (thỏa mãn) $\Rightarrow \left( Q \right):x+y+z-\dfrac{4}{3}=0$.
TH2: Điểm C không nằm giữa hai điểm A, B $\Rightarrow \overrightarrow{AC}=2\overrightarrow{AB}$
$\Rightarrow \left\{ \begin{aligned}
& {{x}_{C}}=2\left( 1-0 \right) \\
& {{y}_{C}}-1=2\left( 0-1 \right) \\
& {{z}_{C}}-1=2\left( 0-1 \right) \\
\end{aligned} \right.\Leftrightarrow \left\{ \begin{aligned}
& {{x}_{C}}=2 \\
& {{y}_{C}}=-1 \\
& {{z}_{C}}=-1 \\
\end{aligned} \right.\Rightarrow C\left( 2;-1;-1 \right)$.
$C\in \left( Q \right)\Rightarrow 2-1-1+c=0\Leftrightarrow c=0$ (thỏa mãn) $\Rightarrow \left( Q \right):x+y+z=0$.
Đáp án D.