Trong không gian $Oxyz,$ cho hai điểm $A\left( 0;0;-3 \right)$...

Gọi $\left( Q \right)$ là mặt phẳng trung trực của đoạn thẳng $AB$.
Ta có $\left( Q \right)$ đi qua trung điểm $M\left( 1;0;-2 \right)$ của $AB$ và nhận $\dfrac{1}{2}\overrightarrow{AB}=\left( 1;0;1 \right)$ làm VTPT nên $\left( Q \right)$ có pt $x+z+1=0$.
Gọi $d$ là giao tuyến của hai mặt phẳng $\left( P \right)$ và $\left( Q \right)$
Ta có $d$ đi qua điểm $\left( 0;-1;-1 \right)$, nhận $\vec{u}=-\dfrac{1}{2}\left[ \overrightarrow{{{n}_{(P)}}},\overrightarrow{{{n}_{(Q)}}} \right]=\left( 2;-1;-2 \right)$ làm VTCP nên có phương trình tham số là $\left\{ \begin{aligned}
& x=2t \\
& y=-1-t \\
& z=-1-2t \\
\end{aligned} \right.$.
Khi đó, để $\Delta ABC$ đều thì điểm $C\in d\Rightarrow C\left( 2t;-1-t;-1-2t \right)$ và $\left\{ \begin{aligned}
& AC=AB=2\sqrt{2} \\
& BC=AB=2\sqrt{2} \\
\end{aligned} \right.$
$\Leftrightarrow \left\{ \begin{aligned}
& {{\left( 2t \right)}^{2}}+{{\left( -t-1 \right)}^{2}}+{{\left( 2-2t \right)}^{2}}=8 \\
& {{\left( 2t-2 \right)}^{2}}+{{\left( -t-1 \right)}^{2}}+{{\left( 2t \right)}^{2}}=8 \\
\end{aligned} \right.$$\Leftrightarrow 9t-6t-3=0\Leftrightarrow t\in \left\{ 1;\dfrac{-1}{3} \right\}$
Với $t=-\dfrac{1}{3}\Rightarrow C\left( -\dfrac{2}{3};-\dfrac{2}{3};-\dfrac{1}{3} \right)\Rightarrow a+b+c=-\dfrac{5}{3}.$
Với $t=1\Rightarrow C\left( 2;-2;-3 \right)\Rightarrow a+b+c=-3$.