Google
Câu hỏi: Trong không gian $Oxyz,$ cho hai điểm $A(4;-2;4)$, $B(-2;6;4)$ và đường thẳng $d:\left\{ \begin{aligned}
& x=5 \\
& y=-1 \\
& z=t \\
\end{aligned} \right.. $ Gọi M là điểm di động thuộc mặt phẳng $ \left( Oxy \right) $ sao cho $ \widehat{AMB}={{90}^{\text{o}}} $ và N là điểm di động thuộc $ d. $ Tìm giá trị nhỏ nhất của $ MN.$
A. 2
B. $8$.
C. $\sqrt{73}$.
D. $5\sqrt{3}$.
$\widehat{AMB}={{90}^{\text{o}}}$ nên $M$ thuộc mặt cầu đường kính $AB$, có tâm $I\left( 1;2;4 \right);R=\dfrac{AB}{2}=5$. Mặt khác $M$ là điểm di động thuộc mặt phẳng $\left( Oxy \right)$ nên $M$ thuộc đường tròn $\left( C \right)$ là giao của mặt cầu với mặt phẳng $\left( Oxy \right).$ Đường tròn này có tâm $H\left( 1;2;0 \right)$ là hình chiếu của $I$ trên $\left( Oxy \right).$ bán kính $r=\sqrt{{{R}^{2}}-I{{H}^{2}}}=3$.
Gọi K là giao điểm của mặt phẳng $\left( Oxy \right)$ và đường thẳng $d:\left\{ \begin{aligned}
& x=5 \\
& y=-1 \\
& z=t \\
\end{aligned} \right.. $suy ra $ K\left( 5;-1;0 \right),HK=5$.
Nhận thấy $d\bot \left( Oxy \right)$ tại $K$. Gọi $E=HK\cap \left( Oxy \right)$, $E$ nằm giữa $HK$,
Ta có $\forall M\in \left( C \right),N\in d: MN\ge MK\ge KE.$ Vậy $EK$ là giá trị nhỏ nhất của $MN.$
Lại có $HE=r=3\Rightarrow KE=2.$
& x=5 \\
& y=-1 \\
& z=t \\
\end{aligned} \right.. $ Gọi M là điểm di động thuộc mặt phẳng $ \left( Oxy \right) $ sao cho $ \widehat{AMB}={{90}^{\text{o}}} $ và N là điểm di động thuộc $ d. $ Tìm giá trị nhỏ nhất của $ MN.$
A. 2
B. $8$.
C. $\sqrt{73}$.
D. $5\sqrt{3}$.
Gọi K là giao điểm của mặt phẳng $\left( Oxy \right)$ và đường thẳng $d:\left\{ \begin{aligned}
& x=5 \\
& y=-1 \\
& z=t \\
\end{aligned} \right.. $suy ra $ K\left( 5;-1;0 \right),HK=5$.
Nhận thấy $d\bot \left( Oxy \right)$ tại $K$. Gọi $E=HK\cap \left( Oxy \right)$, $E$ nằm giữa $HK$,
Ta có $\forall M\in \left( C \right),N\in d: MN\ge MK\ge KE.$ Vậy $EK$ là giá trị nhỏ nhất của $MN.$
Lại có $HE=r=3\Rightarrow KE=2.$
Đáp án A.
