Google
Câu hỏi: Trong không gian $Oxyz$ cho hai điểm $A(0;8;2),\ B(9;-7;23)$ và mặt cầu $\left( S \right)$ có phương trình $(S):{{(x-5)}^{2}}+{{(y+3)}^{2}}+{{(z-7)}^{2}}=72$. Mặt phẳng $\left( P \right):ax+by+cz+d=0$ đi qua điểm $A$ và tiếp xúc với mặt cầu $\left( S \right)$ sao cho khoảng cách từ $B$ đến mặt phẳng $\left( P \right)$ lớn nhất. Giá trị của $b+c+d$ khi đó là
A. $2$.
B. $4$.
C. $3$.
D. $1$.
A. $2$.
B. $4$.
C. $3$.
D. $1$.
Vì $A\in \left( P \right)$ nên $8b+2c+d=0\Leftrightarrow d=-8b-2c\Rightarrow (P):x+by+cz-(8b+2c)=0$
Do $\left( P \right)$ tiếp xúc mặt cầu $\left( S \right)$ nên $d(I;(P))=R\Leftrightarrow \dfrac{|5-11b+5c|}{\sqrt{1+{{b}^{2}}+{{c}^{2}}}}=6\sqrt{2}$.
Ta có: $d(B;(P))=\dfrac{|9-7b+23c-8b-2c|}{\sqrt{1+{{b}^{2}}+{{c}^{2}}}}=\dfrac{|(5-11b+5c)+4(1-b+4c)|}{\sqrt{1+{{b}^{2}}+{{c}^{2}}}}$
$\Rightarrow d(B;(P))\le \dfrac{|5-11b+5c|}{\sqrt{1+{{b}^{2}}+{{c}^{2}}}}+4\dfrac{|1-b+4c|}{\sqrt{1+{{b}^{2}}+{{c}^{2}}}}\Leftrightarrow d(B;(P))\le 6\sqrt{2}+4\dfrac{|1-b+4c|}{\sqrt{1+{{b}^{2}}+{{c}^{2}}}}$
${{\Leftrightarrow }^{\text{Cosi-Svac }}}d(B;(P))\le 6\sqrt{2}+4\dfrac{\sqrt{(1+1+16)\left( 1+{{b}^{2}}+{{c}^{2}} \right)}}{\sqrt{1+{{b}^{2}}+{{c}^{2}}}}\Leftrightarrow d(B;(P))\le 18\sqrt{2}$
Dấu $''=''$ xảy ra khi và chỉ khi $\left\{ \begin{array}{*{35}{l}}
1=-b=\dfrac{c}{4} \\
\dfrac{|5-11b+5c|}{\sqrt{1+{{b}^{2}}+{{c}^{2}}}}=6\sqrt{2} \\
\end{array}\Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{*{35}{l}}
b=-1 \\
c=4 \\
d=0 \\
\end{array} \right. \right.$
Vậy ${{P}_{\max }}=18\sqrt{2}$ khi $b+c+d=3$.
Do $\left( P \right)$ tiếp xúc mặt cầu $\left( S \right)$ nên $d(I;(P))=R\Leftrightarrow \dfrac{|5-11b+5c|}{\sqrt{1+{{b}^{2}}+{{c}^{2}}}}=6\sqrt{2}$.
Ta có: $d(B;(P))=\dfrac{|9-7b+23c-8b-2c|}{\sqrt{1+{{b}^{2}}+{{c}^{2}}}}=\dfrac{|(5-11b+5c)+4(1-b+4c)|}{\sqrt{1+{{b}^{2}}+{{c}^{2}}}}$
$\Rightarrow d(B;(P))\le \dfrac{|5-11b+5c|}{\sqrt{1+{{b}^{2}}+{{c}^{2}}}}+4\dfrac{|1-b+4c|}{\sqrt{1+{{b}^{2}}+{{c}^{2}}}}\Leftrightarrow d(B;(P))\le 6\sqrt{2}+4\dfrac{|1-b+4c|}{\sqrt{1+{{b}^{2}}+{{c}^{2}}}}$
${{\Leftrightarrow }^{\text{Cosi-Svac }}}d(B;(P))\le 6\sqrt{2}+4\dfrac{\sqrt{(1+1+16)\left( 1+{{b}^{2}}+{{c}^{2}} \right)}}{\sqrt{1+{{b}^{2}}+{{c}^{2}}}}\Leftrightarrow d(B;(P))\le 18\sqrt{2}$
Dấu $''=''$ xảy ra khi và chỉ khi $\left\{ \begin{array}{*{35}{l}}
1=-b=\dfrac{c}{4} \\
\dfrac{|5-11b+5c|}{\sqrt{1+{{b}^{2}}+{{c}^{2}}}}=6\sqrt{2} \\
\end{array}\Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{*{35}{l}}
b=-1 \\
c=4 \\
d=0 \\
\end{array} \right. \right.$
Vậy ${{P}_{\max }}=18\sqrt{2}$ khi $b+c+d=3$.
Đáp án B.