Trong không gian $O x y z$ cho hai điểm $A (0; 8; 2), B (9; - 7; 23)$ và...

The Professor · 23/12/21

Câu hỏi: Trong không gian

O x y z

cho hai điểm

A (0; 8; 2), B (9; - 7; 23)

và mặt cầu

(S)

có phương trình

(S) : {(x - 5)}^{2} + {(y + 3)}^{2} + {(z - 7)}^{2} = 72

. Mặt phẳng

(P) : a x + b y + c z + d = 0

đi qua điểm

A

và tiếp xúc với mặt cầu

(S)

sao cho khoảng cách từ

B

đến mặt phẳng

(P)

lớn nhất. Giá trị của

b + c + d

khi đó là
A.

2

.
B.

4

.
C.

3

.
D.

1

.

Vì

A \in (P)

nên

8 b + 2 c + d = 0 \Leftrightarrow d = - 8 b - 2 c \Rightarrow (P) : x + b y + c z - (8 b + 2 c) = 0

Do

(P)

tiếp xúc mặt cầu

(S)

nên

d (I; (P)) = R \Leftrightarrow \frac{| 5 - 11 b + 5 c |}{\sqrt{1 + b^{2} + c^{2}}} = 6 \sqrt{2}

.
Ta có:

d (B; (P)) = \frac{| 9 - 7 b + 23 c - 8 b - 2 c |}{\sqrt{1 + b^{2} + c^{2}}} = \frac{| (5 - 11 b + 5 c) + 4 (1 - b + 4 c) |}{\sqrt{1 + b^{2} + c^{2}}}

\Rightarrow d (B; (P)) \leq \frac{| 5 - 11 b + 5 c |}{\sqrt{1 + b^{2} + c^{2}}} + 4 \frac{| 1 - b + 4 c |}{\sqrt{1 + b^{2} + c^{2}}} \Leftrightarrow d (B; (P)) \leq 6 \sqrt{2} + 4 \frac{| 1 - b + 4 c |}{\sqrt{1 + b^{2} + c^{2}}}

\Leftrightarrow^{Cosi-Svac} d (B; (P)) \leq 6 \sqrt{2} + 4 \frac{\sqrt{(1 + 1 + 16) (1 + b^{2} + c^{2})}}{\sqrt{1 + b^{2} + c^{2}}} \Leftrightarrow d (B; (P)) \leq 18 \sqrt{2}

Dấu

^{″} =^{″}

xảy ra khi và chỉ khi

{\begin{cases} 1 = - b = \frac{c}{4} \\ \frac{| 5 - 11 b + 5 c |}{\sqrt{1 + b^{2} + c^{2}}} = 6 \sqrt{2} \end{cases} \Leftrightarrow {\begin{cases} b = - 1 \\ c = 4 \\ d = 0 \end{cases}

Vậy

P_{max} = 18 \sqrt{2}

khi

b + c + d = 3

.

Đáp án B.

Trong không gian Oxyz cho hai điểm A(0;8;2), B(9;−7;23) và...