Google
Câu hỏi: Trong không gian $Oxyz$, cho đường thẳng ${{d}_{1}}:\dfrac{x-2}{-1}=\dfrac{y-1}{2}=\dfrac{z-2}{-1};{{d}_{2}}:\dfrac{x-3}{1}=\dfrac{y-2}{-2}=\dfrac{z}{1};{{d}_{3}}:\dfrac{x-4}{1}=\dfrac{y-2}{-3}=\dfrac{z+1}{1}$. Đường thẳng $\Delta $ thay đổi cắt các đường thẳng ${{d}_{1}},{{d}_{2}},{{d}_{3}}$ lần lượt tại $A,B,C$. Giá trị nhỏ nhất của $AC+BC$ là
A. $\dfrac{9\sqrt{2}}{2}$.
B. $\dfrac{7\sqrt{2}}{2}$.
C. $\dfrac{3\sqrt{2}}{2}$.
D. $\dfrac{5\sqrt{2}}{2}$.
Ta có:
$\begin{aligned}
& \overrightarrow{{{u}_{{{d}_{1}}}}}=(-1;2;-1);\overrightarrow{{{u}_{{{d}_{2}}}}}=(1;-2;1);M(2;1;2)\in {{d}_{1}};M\notin {{d}_{2}} \\
& \Rightarrow {{d}_{1}}//{{d}_{2}} \\
\end{aligned}$
Gọi $(P)$ là mặt phẳng chứa ${{d}_{1}}$ và $d{}_{2}$
$\Rightarrow \overrightarrow{{{n}_{P}}}=\left[ \overrightarrow{{{u}_{{{d}_{1}}}}},\overrightarrow{{{u}_{{{d}_{2}}}}} \right]=(1;1;1)$
$(P)$ qua: $M(2;1;2)\Rightarrow (P):x+y+z-5=0$
Đường thẳng $\Delta $ thay đổi cắt các đường thẳng ${{d}_{1}},{{d}_{2}},{{d}_{3}}$ lần lượt tại $A,B,C$
$\Rightarrow \Delta \in (P);C\in (P)$
$AC+BC$ nhỏ nhất $\Leftrightarrow A,B$ lần lượt là hình chiếu của C trên ${{d}_{1}},{{d}_{2}}$
(P) cắt ${{d}_{3}}$ tại C
$\begin{aligned}
& {{d}_{3}}:\left\{ \begin{aligned}
& x=4+t \\
& y=2-3t \\
& z=-1+t \\
\end{aligned} \right. \\
& \Rightarrow 4+t+2-3t-1+t-5=0 \\
& \Leftrightarrow t=0 \\
& \Rightarrow C(4;2;-1) \\
\end{aligned}$
Phương trình $\Delta $ qua C và vuông góc ${{d}_{1}},{{d}_{2}}$
$\begin{aligned}
& \Delta :\left\{ \begin{aligned}
& x=4+t \\
& y=2 \\
& z=-1-t \\
\end{aligned} \right. \\
& \Rightarrow A=\left( \dfrac{3}{2};2;\dfrac{3}{2} \right);B=(3;2;0) \\
& \Rightarrow AC+BC=\dfrac{7\sqrt{2}}{2} \\
\end{aligned}$
A. $\dfrac{9\sqrt{2}}{2}$.
B. $\dfrac{7\sqrt{2}}{2}$.
C. $\dfrac{3\sqrt{2}}{2}$.
D. $\dfrac{5\sqrt{2}}{2}$.
$\begin{aligned}
& \overrightarrow{{{u}_{{{d}_{1}}}}}=(-1;2;-1);\overrightarrow{{{u}_{{{d}_{2}}}}}=(1;-2;1);M(2;1;2)\in {{d}_{1}};M\notin {{d}_{2}} \\
& \Rightarrow {{d}_{1}}//{{d}_{2}} \\
\end{aligned}$
Gọi $(P)$ là mặt phẳng chứa ${{d}_{1}}$ và $d{}_{2}$
$\Rightarrow \overrightarrow{{{n}_{P}}}=\left[ \overrightarrow{{{u}_{{{d}_{1}}}}},\overrightarrow{{{u}_{{{d}_{2}}}}} \right]=(1;1;1)$
$(P)$ qua: $M(2;1;2)\Rightarrow (P):x+y+z-5=0$
Đường thẳng $\Delta $ thay đổi cắt các đường thẳng ${{d}_{1}},{{d}_{2}},{{d}_{3}}$ lần lượt tại $A,B,C$
$\Rightarrow \Delta \in (P);C\in (P)$
$AC+BC$ nhỏ nhất $\Leftrightarrow A,B$ lần lượt là hình chiếu của C trên ${{d}_{1}},{{d}_{2}}$
(P) cắt ${{d}_{3}}$ tại C
$\begin{aligned}
& {{d}_{3}}:\left\{ \begin{aligned}
& x=4+t \\
& y=2-3t \\
& z=-1+t \\
\end{aligned} \right. \\
& \Rightarrow 4+t+2-3t-1+t-5=0 \\
& \Leftrightarrow t=0 \\
& \Rightarrow C(4;2;-1) \\
\end{aligned}$
Phương trình $\Delta $ qua C và vuông góc ${{d}_{1}},{{d}_{2}}$
$\begin{aligned}
& \Delta :\left\{ \begin{aligned}
& x=4+t \\
& y=2 \\
& z=-1-t \\
\end{aligned} \right. \\
& \Rightarrow A=\left( \dfrac{3}{2};2;\dfrac{3}{2} \right);B=(3;2;0) \\
& \Rightarrow AC+BC=\dfrac{7\sqrt{2}}{2} \\
\end{aligned}$
Đáp án B.
