Google
Câu hỏi: Trong không gian $Oxyz$, cho đường thẳng ${{d}_{1}}:\dfrac{x+1}{1}=\dfrac{y}{1}=\dfrac{z-1}{-1}$ ; ${{d}_{2}}:\dfrac{x+2}{3}=\dfrac{y}{-1}=\dfrac{z+1}{2}.$ ${{d}_{3}}:\left\{ \begin{aligned}
& x=1 \\
& y=1-t \\
& z=t \\
\end{aligned} \right.\left( t\in R \right) $. Phương trình đường thẳng $ d $ cắt 3 đường thẳng $ {{d}_{1}};{{d}_{2}};{{d}_{3}} $ lần lượt tại $ A,B,C $ sao cho $ B $ là trung điểm của $ AC $có véc tơ chỉ phương $ \overrightarrow{u}=\left( a;b;c \right) $. Tỉ số $ T=\dfrac{a+b}{c}$ thuộc khoảng nào sau đây?
A. $\left( -3;-1 \right)$.
B. $\left( 1;3 \right)$.
C. $\left( 4;6 \right)$.
D. $\left( -6;-3 \right)$.
& x=1 \\
& y=1-t \\
& z=t \\
\end{aligned} \right.\left( t\in R \right) $. Phương trình đường thẳng $ d $ cắt 3 đường thẳng $ {{d}_{1}};{{d}_{2}};{{d}_{3}} $ lần lượt tại $ A,B,C $ sao cho $ B $ là trung điểm của $ AC $có véc tơ chỉ phương $ \overrightarrow{u}=\left( a;b;c \right) $. Tỉ số $ T=\dfrac{a+b}{c}$ thuộc khoảng nào sau đây?
A. $\left( -3;-1 \right)$.
B. $\left( 1;3 \right)$.
C. $\left( 4;6 \right)$.
D. $\left( -6;-3 \right)$.
Gọi các điểm $A,C$ lần lượt là $A\left( -1+s;s;1-s \right);C\left( 1;1-t;t \right)$.
$\Rightarrow $ véc tơ chỉ phương của đường thẳng $d$ là $\overrightarrow{u}=\left( 2-s;1-t-s;t+s-1 \right)$
Vì $B$ là trung điểm của $AC$ nên $B\left( \dfrac{s}{2};\dfrac{s-t+1}{2};\dfrac{1-s+t}{2} \right)$.
Ta có ${{d}_{2}}:\dfrac{x+2}{3}=\dfrac{y}{-1}=\dfrac{z+1}{2}\Leftrightarrow \left\{ \begin{aligned}
& -x-3y+2=0 \\
& 2x-3z+1=0 \\
\end{aligned} \right.$
Vì $B$ thuôc đường thẳng ${{d}_{2}}$ nên ta có :
$\left\{ \begin{aligned}
& \dfrac{-s}{2}-\dfrac{3\left( s-t+1 \right)}{2}+2=0 \\
& s+4-\dfrac{3\left( 1-s+t \right)}{2}-3=0 \\
\end{aligned} \right.$$\Leftrightarrow \left\{ \begin{aligned}
& 3t-4s=-1 \\
& -3t+5s=1 \\
\end{aligned} \right.\Leftrightarrow \left\{ \begin{aligned}
& t=-1/3 \\
& s=0 \\
\end{aligned} \right.$
$\overrightarrow{u}=\left( 2;\dfrac{4}{3};-\dfrac{4}{3} \right)$
Vậy $T=\dfrac{a+b}{c}=-\dfrac{5}{2}$
$\Rightarrow $ véc tơ chỉ phương của đường thẳng $d$ là $\overrightarrow{u}=\left( 2-s;1-t-s;t+s-1 \right)$
Vì $B$ là trung điểm của $AC$ nên $B\left( \dfrac{s}{2};\dfrac{s-t+1}{2};\dfrac{1-s+t}{2} \right)$.
Ta có ${{d}_{2}}:\dfrac{x+2}{3}=\dfrac{y}{-1}=\dfrac{z+1}{2}\Leftrightarrow \left\{ \begin{aligned}
& -x-3y+2=0 \\
& 2x-3z+1=0 \\
\end{aligned} \right.$
Vì $B$ thuôc đường thẳng ${{d}_{2}}$ nên ta có :
$\left\{ \begin{aligned}
& \dfrac{-s}{2}-\dfrac{3\left( s-t+1 \right)}{2}+2=0 \\
& s+4-\dfrac{3\left( 1-s+t \right)}{2}-3=0 \\
\end{aligned} \right.$$\Leftrightarrow \left\{ \begin{aligned}
& 3t-4s=-1 \\
& -3t+5s=1 \\
\end{aligned} \right.\Leftrightarrow \left\{ \begin{aligned}
& t=-1/3 \\
& s=0 \\
\end{aligned} \right.$
$\overrightarrow{u}=\left( 2;\dfrac{4}{3};-\dfrac{4}{3} \right)$
Vậy $T=\dfrac{a+b}{c}=-\dfrac{5}{2}$
Đáp án A.