Trong không gian $Oxyz$, cho đường thẳng...

Ta thấy: $A(1;0;-2)=d\cap \left(P\right)\Rightarrow A\in d^{\prime }$.
$\left(P\right)$ có 1 VTPT $\overrightarrow{n_{\left(P\right)}}=(1;2;-1)$, đường thẳng $d$ có 1 VTCP $\overrightarrow{u_d}=(2;1;-1)$.
Gọi $d^{″}$ là tập hợp các điểm thuộc mặt phẳng $\left(P\right)$ và cách $d^{\prime }$ một khoảng bằng $\sqrt{11}$
$\left(Q\right)$ là mặt phẳng vuông góc với $\left(P\right)$ và cách $d^{\prime }$ một khoảng bằng $\sqrt{11}$ $\Rightarrow \left(Q\right)\supset d^{″}$
Ta có: $\{\begin{array}{rl}& \left(Q\right)\mathrm{\perp }\left(P\right)\\ & \left(Q\right)\text{//}(d,d^{\prime })\end{array}\Rightarrow \overrightarrow{n_{\left(Q\right)}}=[\overrightarrow{n_{\left(P\right)}},\overrightarrow{u_d}]=(1;1;3)$là 1 VTPT của $\left(Q\right)$.
$\Rightarrow$ phương trình tổng quát của mặt phẳng $\left(Q\right)$ có dạng: $x+y+3z+a=0$.
Ta lại có: $d(\left(Q\right),d^{\prime })=d(A,\left(Q\right))$
$\Rightarrow {\displaystyle \frac{|1+0+3.(-2)+a|}{\sqrt{11}}}=\sqrt{11}\iff |a-5|=11\iff [\begin{array}{rl}& a-5=11\\ & a-5=-11\end{array}\iff [\begin{array}{rl}& a=16\\ & a=-6\end{array}$.
Mà $d^{″}=\left(P\right)\cap \left(Q\right)$
Với $a=16$, ta có phương trình $d^{″}$ thỏa mãn $\{\begin{array}{rl}& x+2y-z-3=0\\ & x+y+3z+16=0\end{array}\left(I\right)$.
Chọn $M(-35;19;0)$ và $N(0;-1;-5)$ thỏa mãn $\left(I\right)$ $\Rightarrow \overrightarrow{MN}=(35;-20;-5)$
$\Rightarrow \overrightarrow{u_{d^{″}}}=(7;-4;-1)$ là 1 VTCP của $d^{″}$ $\Rightarrow d^{″}:{\displaystyle \frac{x}{7}}={\displaystyle \frac{y+1}{-4}}={\displaystyle \frac{z+5}{-1}}$.
Với $a=-6$, ta có phương trình $d^{″}$ thỏa mãn $\{\begin{array}{rl}& x+2y-z-3=0\\ & x+y+3z-6=0\end{array}\left(II\right)$.
Chọn $K(9;-3;0)$ thỏa mãn $\left(II\right)$ $\Rightarrow d^{″}:{\displaystyle \frac{x-9}{7}}={\displaystyle \frac{y+3}{-4}}={\displaystyle \frac{z}{-1}}$.