Google
Câu hỏi: Trong không gian $Oxyz$ cho đường thẳng $d:\dfrac{x-1}{2}=\dfrac{y-2}{3}=\dfrac{z-3}{4}$ và mặt cầu $\left( S \right)$ : ${{\left( x+3 \right)}^{2}}+{{\left( y+4 \right)}^{2}}+{{\left( z+5 \right)}^{2}}=729$. Cho biết điểm $A\left( -2;-2;-7 \right)$, điểm $B$ thuộc giao tuyến của mặt cầu $\left( S \right)$ và mặt phẳng $\left( P \right):2x+3y+4z-107=0$. Khi điểm $M$ di động trên đường thẳng $d$ giá trị nhỏ nhất của biểu thức $MA+MB$ bằng
A. $5\sqrt{30}$
B. $27$
C. $5\sqrt{29}$
D. $\sqrt{742}$
Mặt cầu $\left( S \right)$ có tâm $I\left( -3;-4;-5 \right)$ và bán kính $R=27$.
Đường thẳng $d$ có 1 véc-tơ chỉ phương là $\overrightarrow{u}=\left( 2;3;4 \right)\Rightarrow d\bot \left( P \right)$.
Gọi $K$ là giao điểm của mặt phẳng $\left( P \right)$ và đường thẳng $d$. Vì $I\in d$ nên $K$ là tâm của đường tròn giao tuyến và $KB\bot d$.
Ta có $\overrightarrow{IA}=\left( 1;2;-2 \right)\Rightarrow IA=3$ và $\overrightarrow{IA}.\overrightarrow{u}=0\Rightarrow IA\bot d$.
Ta tính được $IK=\text{d}\left( I, \left( P \right) \right)=\dfrac{\left| 2.\left( -3 \right)+3.\left( -4 \right)+4\left( -5 \right)-107 \right|}{\sqrt{{{2}^{2}}+{{3}^{2}}+{{4}^{2}}}}=5\sqrt{29}$ và $KB=\sqrt{{{R}^{2}}-I{{K}^{2}}}=2$.
Do $M$ di động trên đường thẳng $d$ và $B$ thuộc đường tròn giao tuyến nên biểu thức $MA+MB$ nhỏ nhất khi và chỉ khi $M=AB\cap d$.
Khi đó, ta có $\dfrac{MI}{MK}=\dfrac{IA}{KB}=\dfrac{3}{2}$ và $MI+MK=IK=5\sqrt{29}$.
Suy ra $MI=3\sqrt{29}$, $MK=2\sqrt{29}$.
Ta có $AM=\sqrt{I{{A}^{2}}+M{{I}^{2}}}=3\sqrt{30}$ $\Rightarrow BM=\dfrac{2}{3}AM=2\sqrt{30}$.
Vậy giá trị nhỏ nhất của $MA+MB$ là $AM+BM=3\sqrt{30}+2\sqrt{30}=5\sqrt{30}$.
A. $5\sqrt{30}$
B. $27$
C. $5\sqrt{29}$
D. $\sqrt{742}$
Đường thẳng $d$ có 1 véc-tơ chỉ phương là $\overrightarrow{u}=\left( 2;3;4 \right)\Rightarrow d\bot \left( P \right)$.
Gọi $K$ là giao điểm của mặt phẳng $\left( P \right)$ và đường thẳng $d$. Vì $I\in d$ nên $K$ là tâm của đường tròn giao tuyến và $KB\bot d$.
Ta có $\overrightarrow{IA}=\left( 1;2;-2 \right)\Rightarrow IA=3$ và $\overrightarrow{IA}.\overrightarrow{u}=0\Rightarrow IA\bot d$.
Ta tính được $IK=\text{d}\left( I, \left( P \right) \right)=\dfrac{\left| 2.\left( -3 \right)+3.\left( -4 \right)+4\left( -5 \right)-107 \right|}{\sqrt{{{2}^{2}}+{{3}^{2}}+{{4}^{2}}}}=5\sqrt{29}$ và $KB=\sqrt{{{R}^{2}}-I{{K}^{2}}}=2$.
Do $M$ di động trên đường thẳng $d$ và $B$ thuộc đường tròn giao tuyến nên biểu thức $MA+MB$ nhỏ nhất khi và chỉ khi $M=AB\cap d$.
Khi đó, ta có $\dfrac{MI}{MK}=\dfrac{IA}{KB}=\dfrac{3}{2}$ và $MI+MK=IK=5\sqrt{29}$.
Suy ra $MI=3\sqrt{29}$, $MK=2\sqrt{29}$.
Ta có $AM=\sqrt{I{{A}^{2}}+M{{I}^{2}}}=3\sqrt{30}$ $\Rightarrow BM=\dfrac{2}{3}AM=2\sqrt{30}$.
Vậy giá trị nhỏ nhất của $MA+MB$ là $AM+BM=3\sqrt{30}+2\sqrt{30}=5\sqrt{30}$.
Đáp án A.