Google
Câu hỏi: Trong không gian $Oxyz$, cho đường thẳng $d:\dfrac{x+1}{2}=\dfrac{y-2}{1}=\dfrac{z+2}{-1}$ và mặt phẳng $\left( P \right):2x+y+z-8=0$. Tam giác $ABC$ có $A\left( -1 ; 2 ; 2 \right)$ và trọng tâm $G$ nằm trên $d$. Khi các đỉnh $B, C$ di động trên $\left( P \right)$ sao cho khoảng cách từ $A$ tới đường thẳng $BC$ đạt giá trị lớn nhất, một vectơ chỉ phương của đường thẳng $BC$ là
A. $\left( 2 ; 1 ; 1 \right)$.
B. $\left( 2 ; 1 ; -1 \right)$.
C. $\left( 1 ; -2 ; 0 \right)$.
D. $\left( 1 ; 2 ; 0 \right)$.
Gọi $I$ là trung điểm của $BC$.
$G\in d\Rightarrow G\left( 2a-1 ; a+2 ; -a-2 \right)$.
$G$ là trọng tâm tam giác $ABC$ nên $\overrightarrow{AI}=\dfrac{3}{2}\overrightarrow{AG}=\left( 3a ; \dfrac{3}{2}a ; -\dfrac{3}{2}\left( a+4 \right) \right)$.
Suy ra: $I\left( 3a-1 ; \dfrac{3}{2}a+2 ; -\dfrac{3}{2}a-4 \right)$.
$A\in \left( P \right)$ $\Rightarrow 2\left( 3a-1 \right)+\dfrac{3}{2}a+2-\dfrac{3}{2}a-12=0$ $\Leftrightarrow a=2$ $\Rightarrow I\left( 5 ; 5 ; -7 \right)$.
Vậy đường thẳng $BC$ luôn đi qua điểm $I$ cố định. Do đó $d\left( A, BC \right)$ lớn nhất khi $AI\bot BC$.
Khi đó $BC\bot AI, BC\subset \left( P \right)$ nên $BC$ có vectơ chỉ phương là $\left[ \overrightarrow{AI}, \overrightarrow{{{n}_{\left( P \right)}}} \right]=\left( 12 ; -24 ; 0 \right)$.
A. $\left( 2 ; 1 ; 1 \right)$.
B. $\left( 2 ; 1 ; -1 \right)$.
C. $\left( 1 ; -2 ; 0 \right)$.
D. $\left( 1 ; 2 ; 0 \right)$.
$G\in d\Rightarrow G\left( 2a-1 ; a+2 ; -a-2 \right)$.
$G$ là trọng tâm tam giác $ABC$ nên $\overrightarrow{AI}=\dfrac{3}{2}\overrightarrow{AG}=\left( 3a ; \dfrac{3}{2}a ; -\dfrac{3}{2}\left( a+4 \right) \right)$.
Suy ra: $I\left( 3a-1 ; \dfrac{3}{2}a+2 ; -\dfrac{3}{2}a-4 \right)$.
$A\in \left( P \right)$ $\Rightarrow 2\left( 3a-1 \right)+\dfrac{3}{2}a+2-\dfrac{3}{2}a-12=0$ $\Leftrightarrow a=2$ $\Rightarrow I\left( 5 ; 5 ; -7 \right)$.
Vậy đường thẳng $BC$ luôn đi qua điểm $I$ cố định. Do đó $d\left( A, BC \right)$ lớn nhất khi $AI\bot BC$.
Khi đó $BC\bot AI, BC\subset \left( P \right)$ nên $BC$ có vectơ chỉ phương là $\left[ \overrightarrow{AI}, \overrightarrow{{{n}_{\left( P \right)}}} \right]=\left( 12 ; -24 ; 0 \right)$.
Đáp án C.