Google
Câu hỏi: Trong không gian Oxyz cho đường thẳng $d:\dfrac{x-1}{2m+1}=\dfrac{y+3}{2}=\dfrac{z+1}{m-2}$ và mặt phẳng $(P):x+y+z-6=0$, hai điểm $A(2;2;2),B(1;2;3)$ thuộc $(P)$. Giá trị của m để AB vuông góc với hình chiếu của d trên $(P)$ là:
A. $m=-3$
B. $m=1$
C. $m=-1$
D. $m=2$
A. $m=-3$
B. $m=1$
C. $m=-1$
D. $m=2$
Ta có $\overrightarrow{{{u}_{d}}}=(2m+1;2;m-2),\overrightarrow{{{n}_{P}}}=(1;1;1)$ và $\overrightarrow{AB}=(-1;0;1)$.
Giả sử d vuông góc với $(P)$, khi đó $\overrightarrow{{{u}_{d}}}$ và $\overrightarrow{{{n}_{P}}}$ cùng phương
$\Rightarrow \dfrac{2m+1}{1}=\dfrac{2}{1}=\dfrac{m-2}{1}\Leftrightarrow \left\{ \begin{aligned}
& 2m+1=2 \\
& m-2=2 \\
\end{aligned} \right.\Leftrightarrow \left\{ \begin{aligned}
& m=\dfrac{1}{2} \\
& m=4 \\
\end{aligned} \right. $ (loại). Vậy d không vuông góc với $ (P)$.
Khi đó với $AB\subset (P)$, AB vuông góc với hình chiếu của d lên $(P)$ khi và chỉ khi AB vuông góc với d $\Leftrightarrow \overrightarrow{AB}.\overrightarrow{{{u}_{d}}}=0\Leftrightarrow (-1).(2m+1)+0.2+1.(m-2)=0\Leftrightarrow m=-3$.
Giả sử d vuông góc với $(P)$, khi đó $\overrightarrow{{{u}_{d}}}$ và $\overrightarrow{{{n}_{P}}}$ cùng phương
$\Rightarrow \dfrac{2m+1}{1}=\dfrac{2}{1}=\dfrac{m-2}{1}\Leftrightarrow \left\{ \begin{aligned}
& 2m+1=2 \\
& m-2=2 \\
\end{aligned} \right.\Leftrightarrow \left\{ \begin{aligned}
& m=\dfrac{1}{2} \\
& m=4 \\
\end{aligned} \right. $ (loại). Vậy d không vuông góc với $ (P)$.
Khi đó với $AB\subset (P)$, AB vuông góc với hình chiếu của d lên $(P)$ khi và chỉ khi AB vuông góc với d $\Leftrightarrow \overrightarrow{AB}.\overrightarrow{{{u}_{d}}}=0\Leftrightarrow (-1).(2m+1)+0.2+1.(m-2)=0\Leftrightarrow m=-3$.
Đáp án A.