Google
Câu hỏi: Trong không gian Oxyz, cho đường thẳng $d:\dfrac{x-1}{1}=\dfrac{y+1}{1}=\dfrac{z-m}{2}$ và mặt cầu $(S):{{\left( x-1 \right)}^{2}}+{{\left( y-1 \right)}^{2}}+{{\left( z-2 \right)}^{2}}=9$. Giá trị của m để đường thẳng d cắt mặt cầu $(S)$ tại hai điểm phân biệt E, F sao cho độ dài đoạn EF lớn nhất là
A. $m=1$
B. $m=0$
C. $m=-\dfrac{1}{3}$
D. $m=\dfrac{1}{3}$
A. $m=1$
B. $m=0$
C. $m=-\dfrac{1}{3}$
D. $m=\dfrac{1}{3}$
Mặt cầu $(S)$ có tâm $I(1;1;2)$ và bán kính $R=3$.
Gọi H là hình chiếu vuông góc của I trên d, khi đó H là trung điểm đoạn EF.
Ta có: $EF=2EH=2\sqrt{{{R}^{2}}-{{\left( d\left( I,\left( P \right) \right) \right)}^{2}}}$
Suy ra EF lớn nhất khi $d\left( I,(P) \right)$ nhỏ nhất. Đường thẳng d qua $A(1;-1;m)$ và có vectơ chỉ phương $\overrightarrow{u}=(1;1;2)$. Ta có $\overrightarrow{AI}=(0;2;2-m),\left[ \overrightarrow{AI},\overrightarrow{u} \right]=(2+m;2-m;-2)$.
Suy ra $d\left( I,(P) \right)=\dfrac{\left| \left[ \overrightarrow{AI},\overrightarrow{u} \right] \right|}{\left| \overrightarrow{u} \right|}=\dfrac{\sqrt{2{{m}^{2}}+12}}{\sqrt{1+1+4}}\ge \sqrt{2}$. Do đó $d\left( I,(P) \right)$ nhỏ nhất khi $m=0$.
Khi đó $EF=2\text{E}H=2\sqrt{{{R}^{2}}-{{\left( d\left( I,(P) \right) \right)}^{2}}}=2\sqrt{7}$.
Gọi H là hình chiếu vuông góc của I trên d, khi đó H là trung điểm đoạn EF.
Ta có: $EF=2EH=2\sqrt{{{R}^{2}}-{{\left( d\left( I,\left( P \right) \right) \right)}^{2}}}$
Suy ra EF lớn nhất khi $d\left( I,(P) \right)$ nhỏ nhất. Đường thẳng d qua $A(1;-1;m)$ và có vectơ chỉ phương $\overrightarrow{u}=(1;1;2)$. Ta có $\overrightarrow{AI}=(0;2;2-m),\left[ \overrightarrow{AI},\overrightarrow{u} \right]=(2+m;2-m;-2)$.
Suy ra $d\left( I,(P) \right)=\dfrac{\left| \left[ \overrightarrow{AI},\overrightarrow{u} \right] \right|}{\left| \overrightarrow{u} \right|}=\dfrac{\sqrt{2{{m}^{2}}+12}}{\sqrt{1+1+4}}\ge \sqrt{2}$. Do đó $d\left( I,(P) \right)$ nhỏ nhất khi $m=0$.
Khi đó $EF=2\text{E}H=2\sqrt{{{R}^{2}}-{{\left( d\left( I,(P) \right) \right)}^{2}}}=2\sqrt{7}$.
Đáp án B.