Google
Câu hỏi: Trong không gian $Oxyz$, cho đường thẳng $d:\dfrac{x-1}{1}=\dfrac{y-2}{2}=\dfrac{z-3}{1}$ và mặt phẳng $\left( \alpha \right):x+y-z-2=0$. Trong các đường thẳng sau, đường thẳng nào nằm trong mặt phẳng $\left( \alpha \right)$, đồng thời vuông góc và cắt đường thẳng $d$ ?
A. ${{\Delta }_{1}}:\dfrac{x-1}{3}=\dfrac{y-1}{-2}=\dfrac{z}{1}$.
B. ${{\Delta }_{2}}:\dfrac{x-5}{3}=\dfrac{y-2}{-2}=\dfrac{z-5}{1}$.
C. ${{\Delta }_{3}}:\dfrac{x+2}{-3}=\dfrac{y+4}{2}=\dfrac{z+4}{-1}$.
D. ${{\Delta }_{4}}:\dfrac{x-2}{1}=\dfrac{y-4}{-2}=\dfrac{z-4}{3}$.
A. ${{\Delta }_{1}}:\dfrac{x-1}{3}=\dfrac{y-1}{-2}=\dfrac{z}{1}$.
B. ${{\Delta }_{2}}:\dfrac{x-5}{3}=\dfrac{y-2}{-2}=\dfrac{z-5}{1}$.
C. ${{\Delta }_{3}}:\dfrac{x+2}{-3}=\dfrac{y+4}{2}=\dfrac{z+4}{-1}$.
D. ${{\Delta }_{4}}:\dfrac{x-2}{1}=\dfrac{y-4}{-2}=\dfrac{z-4}{3}$.
Phương trình tham số của đường thẳng $d:\left\{ \begin{aligned}
& x=1+t \\
& y=2+2t \\
& z=3+t \\
\end{aligned} \right.$.
Gọi $I=d\cap \left( \alpha \right)\Rightarrow $ tọa độ điểm $I\left( x;y;z \right)$ là nghiệm của hệ phương trình:
$\left\{ \begin{aligned}
& x=1+t \\
& y=2+2t \\
& z=3+t \\
& x+y-z-2=0 \\
\end{aligned} \right.\Rightarrow \left\{ \begin{aligned}
& x=2 \\
& y=4 \\
& z=4 \\
& t=1 \\
\end{aligned} \right.\Rightarrow I\left( 2;4;4 \right)$.
Vectơ chỉ phương của $d$ là $\overrightarrow{u}=\left( 1;2;1 \right)$.
Vectơ chỉ pháp tuyến của $\left( \alpha \right)$ là $\overrightarrow{n}=\left( 1;1;-1 \right)$.
Gọi $\Delta $ là đường thẳng nằm trong mặt phẳng $\left( \alpha \right)$, đồng thời vuông góc và cắt đường thẳng $d$, ta có: $I\in \Delta $ và $\Delta $ có một vec tơ chỉ phương là $\overrightarrow{{{u}_{\Delta }}}=\left[ \overrightarrow{u},\overrightarrow{n} \right]=\left( -3; 2; -1 \right)$.
Đường thẳng cần tìm qua điểm $I\left( 2; 4; 4 \right)$, nhận một VTCP là $\left[ \overrightarrow{u},\overrightarrow{n} \right]=\left( -3; 2; -1 \right)$
nên có PTTS $\left\{ \begin{aligned}
& x=2-3t \\
& y=4+2t \\
& z=4-t \\
\end{aligned} \right.\left( * \right)$.
& x=1+t \\
& y=2+2t \\
& z=3+t \\
\end{aligned} \right.$.
Gọi $I=d\cap \left( \alpha \right)\Rightarrow $ tọa độ điểm $I\left( x;y;z \right)$ là nghiệm của hệ phương trình:
$\left\{ \begin{aligned}
& x=1+t \\
& y=2+2t \\
& z=3+t \\
& x+y-z-2=0 \\
\end{aligned} \right.\Rightarrow \left\{ \begin{aligned}
& x=2 \\
& y=4 \\
& z=4 \\
& t=1 \\
\end{aligned} \right.\Rightarrow I\left( 2;4;4 \right)$.
Vectơ chỉ phương của $d$ là $\overrightarrow{u}=\left( 1;2;1 \right)$.
Vectơ chỉ pháp tuyến của $\left( \alpha \right)$ là $\overrightarrow{n}=\left( 1;1;-1 \right)$.
Gọi $\Delta $ là đường thẳng nằm trong mặt phẳng $\left( \alpha \right)$, đồng thời vuông góc và cắt đường thẳng $d$, ta có: $I\in \Delta $ và $\Delta $ có một vec tơ chỉ phương là $\overrightarrow{{{u}_{\Delta }}}=\left[ \overrightarrow{u},\overrightarrow{n} \right]=\left( -3; 2; -1 \right)$.
Đường thẳng cần tìm qua điểm $I\left( 2; 4; 4 \right)$, nhận một VTCP là $\left[ \overrightarrow{u},\overrightarrow{n} \right]=\left( -3; 2; -1 \right)$
nên có PTTS $\left\{ \begin{aligned}
& x=2-3t \\
& y=4+2t \\
& z=4-t \\
\end{aligned} \right.\left( * \right)$.
Đáp án B.