Google
Câu hỏi: Trong không gian Oxyz, cho đường thẳng $d:\dfrac{x-1}{2}=\dfrac{y}{1}=\dfrac{z-1}{1}$ và mặt cầu $(S):{{\left( x-4 \right)}^{2}}+{{\left( y-5 \right)}^{2}}+{{\left( z-7 \right)}^{2}}=2.$ Hai điểm $A,B$ thay đổi trên (S) sao cho tiếp diện của (S) tại A và B vuông góc với nhau. Đường thẳng qua A song song với d cắt mặt phẳng $(Oxy)$ tại M, đường thẳng qua B song song với d cắt mặt phẳng $(Oxy)$ tại N. Tìm giá trị lớn nhất của tổng $AM+BN.$
A. $16\sqrt{6}.$
B. $8\sqrt{6}.$
C. $7\sqrt{6}+5\sqrt{3}.$
D. $\sqrt{20}.$
Mặt cầu $\left( S \right)$ có tâm $I\left( 4;5;7 \right)$, bán kính $R=\sqrt{2}$.
Giả sử trong mặt phẳng $\left( IAB \right)$ tiếp tuyến tại A và B của $\left( S \right)$ cắt nhau tại C thì IACB là hình vuông cạnh $IA=R=\sqrt{2}\Rightarrow AB=IA\sqrt{2}=2$, gọi K là trung điểm của AB thì $IK=\dfrac{AB}{2}=1$.
Điểm K thuộc mặt cầu $\left( {{S}'} \right)$ tâm $I\left( 4;5;7 \right)$, bán kính ${R}'=1$.
Gọi E là trung điểm của AB, vì ABNM là hình thang nên KE là đường trung bình của hình thang ABNM do đó $AM+BN=2KE$ trong $K\in \left( {{S}'} \right)$ và
$\overrightarrow{{{u}_{KE}}}=\overrightarrow{{{u}_{d}}}=\left( 2;1;1 \right)\Rightarrow KE$ luôn tạo với $\left( Oxy \right):z=0$ một góc $\varphi $ không đổi và $\sin \varphi =\dfrac{1}{\sqrt{6}}$.
Lại có: $KE\sin \varphi =d\left( K,(P) \right)\Rightarrow KE=\sqrt{6}d\left( K,(P) \right)\le \sqrt{6}\left[ d\left( I;(Oxy) \right)+{R}' \right]=\sqrt{6}\left( 7+1 \right)=8\sqrt{6}$
Suy ra $AM+BN=2KE\le 16\sqrt{6}$.
A. $16\sqrt{6}.$
B. $8\sqrt{6}.$
C. $7\sqrt{6}+5\sqrt{3}.$
D. $\sqrt{20}.$
Mặt cầu $\left( S \right)$ có tâm $I\left( 4;5;7 \right)$, bán kính $R=\sqrt{2}$.
Giả sử trong mặt phẳng $\left( IAB \right)$ tiếp tuyến tại A và B của $\left( S \right)$ cắt nhau tại C thì IACB là hình vuông cạnh $IA=R=\sqrt{2}\Rightarrow AB=IA\sqrt{2}=2$, gọi K là trung điểm của AB thì $IK=\dfrac{AB}{2}=1$.
Điểm K thuộc mặt cầu $\left( {{S}'} \right)$ tâm $I\left( 4;5;7 \right)$, bán kính ${R}'=1$.
Gọi E là trung điểm của AB, vì ABNM là hình thang nên KE là đường trung bình của hình thang ABNM do đó $AM+BN=2KE$ trong $K\in \left( {{S}'} \right)$ và
$\overrightarrow{{{u}_{KE}}}=\overrightarrow{{{u}_{d}}}=\left( 2;1;1 \right)\Rightarrow KE$ luôn tạo với $\left( Oxy \right):z=0$ một góc $\varphi $ không đổi và $\sin \varphi =\dfrac{1}{\sqrt{6}}$.
Lại có: $KE\sin \varphi =d\left( K,(P) \right)\Rightarrow KE=\sqrt{6}d\left( K,(P) \right)\le \sqrt{6}\left[ d\left( I;(Oxy) \right)+{R}' \right]=\sqrt{6}\left( 7+1 \right)=8\sqrt{6}$
Suy ra $AM+BN=2KE\le 16\sqrt{6}$.
Đáp án A.