Trong không gian Oxyz, cho đường thẳng...

Mặt cầu $\left(S\right)$ có tâm $I(4;5;7)$, bán kính $R=\sqrt{2}$.
Giả sử trong mặt phẳng $\left(IAB\right)$ tiếp tuyến tại A và B của $\left(S\right)$ cắt nhau tại C thì IACB là hình vuông cạnh $IA=R=\sqrt{2}\Rightarrow AB=IA\sqrt{2}=2$, gọi K là trung điểm của AB thì $IK={\displaystyle \frac{AB}{2}}=1$.
Điểm K thuộc mặt cầu $\left(S^{\prime }\right)$ tâm $I(4;5;7)$, bán kính $R^{\prime }=1$.
Gọi E là trung điểm của AB, vì ABNM là hình thang nên KE là đường trung bình của hình thang ABNM do đó $AM+BN=2KE$ trong $K\in \left(S^{\prime }\right)$ và
$\overrightarrow{u_{KE}}=\overrightarrow{u_d}=(2;1;1)\Rightarrow KE$ luôn tạo với $\left(Oxy\right):z=0$ một góc $\phi$ không đổi và $\sin \phi ={\displaystyle \frac{1}{\sqrt{6}}}$.
Lại có: $KE\sin \phi =d(K,(P))\Rightarrow KE=\sqrt{6}d(K,(P))\le \sqrt{6}[d(I;(Oxy))+R^{\prime }]=\sqrt{6}(7+1)=8\sqrt{6}$
Suy ra $AM+BN=2KE\le 16\sqrt{6}$.