Google
Câu hỏi: Trong không gian $Oxyz$ cho đường thẳng $d:\dfrac{x-3}{2}=\dfrac{y-2}{3}=\dfrac{z}{6}$ và mặt cầu $\left( S \right):{{\left( x-1 \right)}^{2}}+{{\left( y-1 \right)}^{2}}+{{z}^{2}}=9.$ Biết đường thẳng $d$ cắt mặt cầu $\left( S \right)$ theo dây cung $AB.$ Độ dài $AB$ là
A. $2\sqrt{5}$
B. $4\sqrt{2}$
C. $2\sqrt{3}$
D. 4
Gọi $H$ là trung điểm của $AB.$ Khi đó
$AB=2\sqrt{I{{B}^{2}}-I{{H}^{2}}}=2\sqrt{{{R}^{2}}-{{d}^{2}}\left( I;d \right)}$
$d$ đi qua điểm $M\left( 3;2;0 \right)$ và $\overrightarrow{{{u}_{d}}}=\left( 2;3;6 \right).$ Vậy
$d\left( I;d \right)=\dfrac{\left| \left[ \overrightarrow{IM};\overrightarrow{{{u}_{d}}} \right] \right|}{\left| \overrightarrow{{{u}_{d}}} \right|}$
Ta có $\overrightarrow{IM}=\left( 2;1;0 \right)\Rightarrow \left[ \overrightarrow{IM};\overrightarrow{{{u}_{d}}} \right]=\left( 6;-12;4 \right).$ Vậy $\left| \left[ \overrightarrow{IM};\overrightarrow{{{u}_{d}}} \right] \right|=14.$
Mà $\left| \overrightarrow{{{u}_{d}}} \right|=\sqrt{{{2}^{2}}+{{3}^{2}}+{{6}^{2}}}=7\Rightarrow d\left( I,d \right)=2.$
Vậy $AB=2\sqrt{{{3}^{2}}-{{2}^{2}}}=2\sqrt{5}$.
A. $2\sqrt{5}$
B. $4\sqrt{2}$
C. $2\sqrt{3}$
D. 4
Gọi $H$ là trung điểm của $AB.$ Khi đó
$AB=2\sqrt{I{{B}^{2}}-I{{H}^{2}}}=2\sqrt{{{R}^{2}}-{{d}^{2}}\left( I;d \right)}$
$d$ đi qua điểm $M\left( 3;2;0 \right)$ và $\overrightarrow{{{u}_{d}}}=\left( 2;3;6 \right).$ Vậy
$d\left( I;d \right)=\dfrac{\left| \left[ \overrightarrow{IM};\overrightarrow{{{u}_{d}}} \right] \right|}{\left| \overrightarrow{{{u}_{d}}} \right|}$
Ta có $\overrightarrow{IM}=\left( 2;1;0 \right)\Rightarrow \left[ \overrightarrow{IM};\overrightarrow{{{u}_{d}}} \right]=\left( 6;-12;4 \right).$ Vậy $\left| \left[ \overrightarrow{IM};\overrightarrow{{{u}_{d}}} \right] \right|=14.$
Mà $\left| \overrightarrow{{{u}_{d}}} \right|=\sqrt{{{2}^{2}}+{{3}^{2}}+{{6}^{2}}}=7\Rightarrow d\left( I,d \right)=2.$
Vậy $AB=2\sqrt{{{3}^{2}}-{{2}^{2}}}=2\sqrt{5}$.
Đáp án A.