Google
Câu hỏi: Trong không gian Oxyz cho đường thẳng $d:\dfrac{x}{2}=\dfrac{y}{2}=\dfrac{z+3}{-1}$ và mặt cầu $\left( S \right):{{\left( x-3 \right)}^{2}}+{{\left( y-2 \right)}^{2}}+{{\left( z-5 \right)}^{2}}=36$. Gọi Δ là đường thẳng đi qua $A\left( 2;1;3 \right)$ vuông góc với đường thẳng $\left( d \right)$ và cắt $\left( S \right)$ tại 2 điểm có khoảng cách lớn nhất. Khi đó đường thẳng Δ có một vécơt chỉ phương là $\overrightarrow{u}\left( 1;a;b \right)$. Tính $a+b$.
A. 4
B. $-2$
C. $-\dfrac{1}{2}$
D. 5
A. 4
B. $-2$
C. $-\dfrac{1}{2}$
D. 5
Gọi $\left( P \right)$ là mặt phẳng đi qua A và vuông góc với $d\Rightarrow \overrightarrow{{{n}_{p}}}=\overrightarrow{{{u}_{d}}}=\left( 2;2;-1 \right)$.
Phương trình mặt phẳng $\left( P \right):2\left( x-2 \right)+2\left( y-1 \right)-1\left( z-3 \right)=0\Leftrightarrow 2\text{x}+2y-z-3=0$.
Δ là đường thẳng đi qua $A\left( 2;1;3 \right)$ vuông góc với đường thẳng $\left( d \right)\Rightarrow \Delta \subset \left( P \right)$.
Để $\left( \Delta \right)$ cắt $\left( S \right)$ tại 2 điểm có khoảng cách lớn nhất $\Rightarrow \Delta $ là đường thẳng đi qua tâm của đường tròn giao tuyến của $\left( P \right)$ và $\left( S \right)$.
Gọi J là tâm của đường tròn giao tuyến của $\left( P \right)$ và $\left( S \right)\Rightarrow J$ là hình chiếu của $I\left( 3;2;5 \right)$ là tâm của $\left( S \right)$ trên $\left( P \right)$.
Gọi ${d}'$ là đường thẳng đi qua I và vuông góc với $\left( P \right)\Rightarrow {d}':\left\{ \begin{aligned}
& x=3+2t \\
& y=2+2t \\
& z=5-t \\
\end{aligned} \right.$
$J\in \text{{d}'}\Rightarrow J\left( 3+2t;2+2t;5-t \right)$
$J\in \left( P \right)\Rightarrow 2\left( 3+2t \right)+2\left( 2+2t \right)-\left( 5-t \right)-3=0$
$\Leftrightarrow 9t+2=0\Leftrightarrow t=-\dfrac{2}{9}\Rightarrow J\left( \dfrac{23}{9};\dfrac{14}{9};\dfrac{47}{9} \right)$
Δ đi qua $J,A\Rightarrow \Delta $ nhận $\overrightarrow{J\text{A}}=\left( -\dfrac{5}{9};-\dfrac{5}{9};-\dfrac{20}{9} \right)=-\dfrac{5}{9}\left( 1;1;4 \right)$ là 1 véctơ chỉ phương.
$\Rightarrow \overrightarrow{u}=\left( 1;1;4 \right)$ cũng là 1 véctơ chỉ phương của $\Delta \Rightarrow \left\{ \begin{aligned}
& a=1 \\
& b=4 \\
\end{aligned} \right.\Rightarrow a+b=1+4=5$.
Phương trình mặt phẳng $\left( P \right):2\left( x-2 \right)+2\left( y-1 \right)-1\left( z-3 \right)=0\Leftrightarrow 2\text{x}+2y-z-3=0$.
Δ là đường thẳng đi qua $A\left( 2;1;3 \right)$ vuông góc với đường thẳng $\left( d \right)\Rightarrow \Delta \subset \left( P \right)$.
Để $\left( \Delta \right)$ cắt $\left( S \right)$ tại 2 điểm có khoảng cách lớn nhất $\Rightarrow \Delta $ là đường thẳng đi qua tâm của đường tròn giao tuyến của $\left( P \right)$ và $\left( S \right)$.
Gọi J là tâm của đường tròn giao tuyến của $\left( P \right)$ và $\left( S \right)\Rightarrow J$ là hình chiếu của $I\left( 3;2;5 \right)$ là tâm của $\left( S \right)$ trên $\left( P \right)$.
Gọi ${d}'$ là đường thẳng đi qua I và vuông góc với $\left( P \right)\Rightarrow {d}':\left\{ \begin{aligned}
& x=3+2t \\
& y=2+2t \\
& z=5-t \\
\end{aligned} \right.$
$J\in \text{{d}'}\Rightarrow J\left( 3+2t;2+2t;5-t \right)$
$J\in \left( P \right)\Rightarrow 2\left( 3+2t \right)+2\left( 2+2t \right)-\left( 5-t \right)-3=0$
$\Leftrightarrow 9t+2=0\Leftrightarrow t=-\dfrac{2}{9}\Rightarrow J\left( \dfrac{23}{9};\dfrac{14}{9};\dfrac{47}{9} \right)$
Δ đi qua $J,A\Rightarrow \Delta $ nhận $\overrightarrow{J\text{A}}=\left( -\dfrac{5}{9};-\dfrac{5}{9};-\dfrac{20}{9} \right)=-\dfrac{5}{9}\left( 1;1;4 \right)$ là 1 véctơ chỉ phương.
$\Rightarrow \overrightarrow{u}=\left( 1;1;4 \right)$ cũng là 1 véctơ chỉ phương của $\Delta \Rightarrow \left\{ \begin{aligned}
& a=1 \\
& b=4 \\
\end{aligned} \right.\Rightarrow a+b=1+4=5$.
Đáp án D.