Google
Câu hỏi: Trong không gian Oxyz, cho đường thẳng $d:\dfrac{x-2}{1}=\dfrac{y+1}{2}=\dfrac{z}{3}$ và hai điểm $A\left( 2;0;3 \right),B\left( 2;-2;-3 \right)$. Biết $M\left( a;b;c \right)$ điểm thuộc d thỏa mãn $M{{A}^{4}}+M{{B}^{4}}$ nhỏ nhất. Giá trị biểu thức $2a+3b+c$ bằng:
A. $-1.$
B. 1.
C. 0.
D. 2.
A. $-1.$
B. 1.
C. 0.
D. 2.
Gọi I là trung điểm của AB. Khi đó ta có:
$\begin{aligned}
& M{{A}^{4}}+M{{B}^{4}}={{\left( M{{A}^{2}}+M{{B}^{2}} \right)}^{2}}-2M{{A}^{2}}.M{{B}^{2}}={{\left( 2M{{I}^{2}}+\dfrac{A{{B}^{2}}}{2} \right)}^{2}}-2{{\left( M{{I}^{2}}-\dfrac{A{{B}^{2}}}{2} \right)}^{2}} \\
& =4.M{{I}^{4}}+2M{{I}^{2}}A{{B}^{2}}+\dfrac{A{{B}^{4}}}{4}-2.M{{I}^{4}}+M{{I}^{2}}A{{B}^{2}}-\dfrac{A{{B}^{4}}}{8} \\
& =2.M{{I}^{4}}+3M{{I}^{2}}A{{B}^{2}}+\dfrac{A{{B}^{4}}}{8}=2{{\left( M{{I}^{2}}+\dfrac{3A{{B}^{2}}}{4} \right)}^{2}}-A{{B}^{4}} \\
\end{aligned}$
Do đó $M{{A}^{4}}+M{{B}^{4}}$ đạt giá trị nhỏ nhất khi MI nhỏ nhất $\Leftrightarrow $ M là hình chiếu vuông góc của I lên d.
Điểm $I\left( 2;-1;0 \right)$. Lấy $M\left( 2+t;-1+2t;3t \right)\in d.\ \overrightarrow{IM}=\left( t;2t;3t \right)$.
$\overrightarrow{IM}\bot \overrightarrow{{{u}_{d}}}\Leftrightarrow \overrightarrow{IM}.\overrightarrow{{{u}_{d}}}=0\Leftrightarrow t+4t+9t=0\Leftrightarrow t=0$.
Suy ra $M\equiv I\left( 2;-1;0 \right)$. Vậy $2a+3b+c=1$.
$\begin{aligned}
& M{{A}^{4}}+M{{B}^{4}}={{\left( M{{A}^{2}}+M{{B}^{2}} \right)}^{2}}-2M{{A}^{2}}.M{{B}^{2}}={{\left( 2M{{I}^{2}}+\dfrac{A{{B}^{2}}}{2} \right)}^{2}}-2{{\left( M{{I}^{2}}-\dfrac{A{{B}^{2}}}{2} \right)}^{2}} \\
& =4.M{{I}^{4}}+2M{{I}^{2}}A{{B}^{2}}+\dfrac{A{{B}^{4}}}{4}-2.M{{I}^{4}}+M{{I}^{2}}A{{B}^{2}}-\dfrac{A{{B}^{4}}}{8} \\
& =2.M{{I}^{4}}+3M{{I}^{2}}A{{B}^{2}}+\dfrac{A{{B}^{4}}}{8}=2{{\left( M{{I}^{2}}+\dfrac{3A{{B}^{2}}}{4} \right)}^{2}}-A{{B}^{4}} \\
\end{aligned}$
Do đó $M{{A}^{4}}+M{{B}^{4}}$ đạt giá trị nhỏ nhất khi MI nhỏ nhất $\Leftrightarrow $ M là hình chiếu vuông góc của I lên d.
Điểm $I\left( 2;-1;0 \right)$. Lấy $M\left( 2+t;-1+2t;3t \right)\in d.\ \overrightarrow{IM}=\left( t;2t;3t \right)$.
$\overrightarrow{IM}\bot \overrightarrow{{{u}_{d}}}\Leftrightarrow \overrightarrow{IM}.\overrightarrow{{{u}_{d}}}=0\Leftrightarrow t+4t+9t=0\Leftrightarrow t=0$.
Suy ra $M\equiv I\left( 2;-1;0 \right)$. Vậy $2a+3b+c=1$.
Đáp án B.