Trong không gian Oxyz, cho đường thẳng...

The Knowledge · 15/12/21

Câu hỏi: Trong không gian Oxyz, cho đường thẳng

d : \frac{x - 2}{1} = \frac{y + 1}{2} = \frac{z}{3}

và hai điểm

A (2; 0; 3), B (2; - 2; - 3)

. Biết

M (a; b; c)

điểm thuộc d thỏa mãn

M A^{4} + M B^{4}

nhỏ nhất. Giá trị biểu thức

2 a + 3 b + c

bằng:
A.

- 1.

B. 1.
C. 0.
D. 2.

Gọi I là trung điểm của AB. Khi đó ta có:

\begin{aligned} M A^{4} + M B^{4} = {(M A^{2} + M B^{2})}^{2} - 2 M A^{2} . M B^{2} = {(2 M I^{2} + \frac{A B^{2}}{2})}^{2} - 2 {(M I^{2} - \frac{A B^{2}}{2})}^{2} \\ = 4. M I^{4} + 2 M I^{2} A B^{2} + \frac{A B^{4}}{4} - 2. M I^{4} + M I^{2} A B^{2} - \frac{A B^{4}}{8} \\ = 2. M I^{4} + 3 M I^{2} A B^{2} + \frac{A B^{4}}{8} = 2 {(M I^{2} + \frac{3 A B^{2}}{4})}^{2} - A B^{4} \end{aligned}

Do đó

M A^{4} + M B^{4}

đạt giá trị nhỏ nhất khi MI nhỏ nhất

\Leftrightarrow

M là hình chiếu vuông góc của I lên d.
Điểm

I (2; - 1; 0)

. Lấy

M (2 + t; - 1 + 2 t; 3 t) \in d . \vec{I M} = (t; 2 t; 3 t)

.

\vec{I M} ⊥ \vec{u_{d}} \Leftrightarrow \vec{I M} . \vec{u_{d}} = 0 \Leftrightarrow t + 4 t + 9 t = 0 \Leftrightarrow t = 0

.
Suy ra

M \equiv I (2; - 1; 0)

. Vậy

2 a + 3 b + c = 1

.

Đáp án B.