Google
Câu hỏi: Trong không gian Oxyz, cho đường thẳng $d:\dfrac{x-1}{2}=\dfrac{y}{1}=\dfrac{z-1}{1}$ và mặt cầu $\left( S \right):{{\left( x-4 \right)}^{2}}+{{\left( y-5 \right)}^{2}}+{{\left( z-7 \right)}^{2}}=2$. Hai điểm A và B thay đổi trên $\left( S \right)$ sao cho tiếp diện của $\left( S \right)$ tại A và B vuông góc với nhau. Đường thẳng qua A song song với d cắt mặt phẳng $\left( Oxy \right)$ tại M, đường thẳng B song song với d cắt mặt phẳng $\left( Oxy \right)$ tại N. Giá trị lớn nhất của tổng $AM+BN$ bằng
A. $16\sqrt{6}$
B. $8\sqrt{6}$
C. $7\sqrt{6}+5\sqrt{3}$
D. $\sqrt{20}$
A. $16\sqrt{6}$
B. $8\sqrt{6}$
C. $7\sqrt{6}+5\sqrt{3}$
D. $\sqrt{20}$
Mặt cầu $\left( S \right)$ có tâm $I\left( 4;5;7 \right)$ và bán kính $R=\sqrt{2}$. Gọi K là trung điểm của AB.
Đường thẳng d có một véctơ chỉ phương $\overrightarrow{{{u}_{d}}}=\left( 2;1;1 \right)$, mặt phẳng $\left( Oxy \right)$ có một véctơ pháp tuyến $\overrightarrow{n}=\left( 0;0;1 \right)$. Gọi $\varphi $ là góc giữa đường thẳng d và $\left( \text{Ox}y \right)$.
Khi đó $\sin \varphi =\dfrac{\left| \overrightarrow{{{u}_{d}}}.\overrightarrow{n} \right|}{\left| \overrightarrow{{{u}_{d}}} \right|.\left| \overrightarrow{n} \right|}=\dfrac{1}{\sqrt{6}}$.
Đường thẳng qua K song song với d cắt mặt phẳng $\left( \text{Ox}y \right)$ tại P.
Gọi G là hình chiếu của K lên mặt phẳng $\left( \text{Ox}y \right)$.
Ta có $AM+BN=2KP=2\dfrac{KG}{\sin \varphi }=2\sqrt{6}KG$.
Mặt khác $\widehat{AIB}$ là góc giữa hai tiếp diện vuông góc nên tam giác IAB vuông tại I.
Do đó $IK=\dfrac{1}{2}AB=\dfrac{2}{2}=1$, hay điểm K nằm trên mặt cầu $\left( {{S}'} \right)$ tâm $I\left( 4;5;7 \right)$ và bán kính ${R}'=1$.
Khi đó $KG\le IG+{R}'=d\left( I;\left( Oxy \right) \right)+{R}'=7+1=8$ hay $AM+BN\le 16\sqrt{6}$.
Vậy ${{\left( AM+BN \right)}_{\max }}=16\sqrt{6}$.
Đường thẳng d có một véctơ chỉ phương $\overrightarrow{{{u}_{d}}}=\left( 2;1;1 \right)$, mặt phẳng $\left( Oxy \right)$ có một véctơ pháp tuyến $\overrightarrow{n}=\left( 0;0;1 \right)$. Gọi $\varphi $ là góc giữa đường thẳng d và $\left( \text{Ox}y \right)$.
Khi đó $\sin \varphi =\dfrac{\left| \overrightarrow{{{u}_{d}}}.\overrightarrow{n} \right|}{\left| \overrightarrow{{{u}_{d}}} \right|.\left| \overrightarrow{n} \right|}=\dfrac{1}{\sqrt{6}}$.
Đường thẳng qua K song song với d cắt mặt phẳng $\left( \text{Ox}y \right)$ tại P.
Gọi G là hình chiếu của K lên mặt phẳng $\left( \text{Ox}y \right)$.
Ta có $AM+BN=2KP=2\dfrac{KG}{\sin \varphi }=2\sqrt{6}KG$.
Mặt khác $\widehat{AIB}$ là góc giữa hai tiếp diện vuông góc nên tam giác IAB vuông tại I.
Do đó $IK=\dfrac{1}{2}AB=\dfrac{2}{2}=1$, hay điểm K nằm trên mặt cầu $\left( {{S}'} \right)$ tâm $I\left( 4;5;7 \right)$ và bán kính ${R}'=1$.
Khi đó $KG\le IG+{R}'=d\left( I;\left( Oxy \right) \right)+{R}'=7+1=8$ hay $AM+BN\le 16\sqrt{6}$.
Vậy ${{\left( AM+BN \right)}_{\max }}=16\sqrt{6}$.
Đáp án A.