Trong không gian Oxyz, cho đường thẳng...

Mặt cầu $\left(S\right)$ có tâm $I(4;5;7)$ và bán kính $R=\sqrt{2}$. Gọi K là trung điểm của AB.

Đường thẳng d có một véctơ chỉ phương $\overrightarrow{u_d}=(2;1;1)$, mặt phẳng $\left(Oxy\right)$ có một véctơ pháp tuyến $\overrightarrow{n}=(0;0;1)$. Gọi $\phi$ là góc giữa đường thẳng d và $\left(\text{Ox}y\right)$.

Khi đó $\sin \phi ={\displaystyle \frac{|\overrightarrow{u_d}.\overrightarrow{n}|}{\left|\overrightarrow{u_d}\right|.\left|\overrightarrow{n}\right|}}={\displaystyle \frac{1}{\sqrt{6}}}$.
Đường thẳng qua K song song với d cắt mặt phẳng $\left(\text{Ox}y\right)$ tại P.
Gọi G là hình chiếu của K lên mặt phẳng $\left(\text{Ox}y\right)$.
Ta có $AM+BN=2KP=2{\displaystyle \frac{KG}{\sin \phi }}=2\sqrt{6}KG$.
Mặt khác $\widehat{AIB}$ là góc giữa hai tiếp diện vuông góc nên tam giác IAB vuông tại I.
Do đó $IK={\displaystyle \frac{1}{2}}AB={\displaystyle \frac{2}{2}}=1$, hay điểm K nằm trên mặt cầu $\left(S^{\prime }\right)$ tâm $I(4;5;7)$ và bán kính $R^{\prime }=1$.
Khi đó $KG\le IG+R^{\prime }=d(I;\left(Oxy\right))+R^{\prime }=7+1=8$ hay $AM+BN\le 16\sqrt{6}$.
Vậy ${(AM+BN)}_{max}=16\sqrt{6}$.