Google
Câu hỏi: Trong không gian $Oxyz$, cho đường thẳng $\left( \Delta \right):\dfrac{x}{2}=\dfrac{y+1}{-3}=\dfrac{z+4}{-3}$ và mặt phẳng $\left( P \right):2x+y-z-3=0$. Đường thẳng $d$ đi qua $M\left( 2;-3;-4 \right)$ cắt $\left( \Delta \right)$ và $\left( P \right)$ lần lượt tại $A,B$ sao cho $M$ là trung điểm của $AB$ có phương trình là:
A. $\left\{ \begin{aligned}
& x=2t \\
& y=2-3t \\
& z=6-4t \\
\end{aligned} \right. $
B. $ \left\{ \begin{aligned}
& x=2 \\
& y=-2+t \\
& z=-1+3t \\
\end{aligned} \right. $
C. $ \left\{ \begin{aligned}
& x=2+2t \\
& y=-3 \\
& z=-4+6t \\
\end{aligned} \right. $
D. $ \left\{ \begin{aligned}
A. $\left\{ \begin{aligned}
& x=2t \\
& y=2-3t \\
& z=6-4t \\
\end{aligned} \right. $
B. $ \left\{ \begin{aligned}
& x=2 \\
& y=-2+t \\
& z=-1+3t \\
\end{aligned} \right. $
C. $ \left\{ \begin{aligned}
& x=2+2t \\
& y=-3 \\
& z=-4+6t \\
\end{aligned} \right. $
D. $ \left\{ \begin{aligned}
Gọi $A\left( 2t;-3t-1;-3t-4 \right)\in \left( \Delta \right)$.
Do $M\left( 2;-3;-4 \right)$ là trung điểm của $AB$ nên $\left\{ \begin{aligned}
& {{x}_{B}}=2{{x}_{M}}-{{x}_{A}}=4-2t \\
& {{y}_{B}}=2{{y}_{M}}-{{y}_{A}}=-6+3t+1=-5+3t \\
& {{z}_{B}}=2{{z}_{M}}-{{z}_{A}}=-8+3t+4=-4+3t \\
\end{aligned} \right.$.
Do đó $B\left( 4-2t;-5+3t;-4+3t \right)\in \left( P \right)\Rightarrow 2\left( 4-2t \right)-5+3t+4-3t-3=0\Leftrightarrow 4-4t=0\Leftrightarrow t=1$.
Vậy $A\left( 2;-4;-7 \right),B\left( 2;-2;-1 \right)\Rightarrow \overrightarrow{AB}=\left( 0;2;6 \right)=2\left( 0;1;3 \right)\Rightarrow AB:\left\{ \begin{aligned}
& x=2 \\
& y=-2+t \\
& z=-1+3t \\
\end{aligned} \right.$.
Do $M\left( 2;-3;-4 \right)$ là trung điểm của $AB$ nên $\left\{ \begin{aligned}
& {{x}_{B}}=2{{x}_{M}}-{{x}_{A}}=4-2t \\
& {{y}_{B}}=2{{y}_{M}}-{{y}_{A}}=-6+3t+1=-5+3t \\
& {{z}_{B}}=2{{z}_{M}}-{{z}_{A}}=-8+3t+4=-4+3t \\
\end{aligned} \right.$.
Do đó $B\left( 4-2t;-5+3t;-4+3t \right)\in \left( P \right)\Rightarrow 2\left( 4-2t \right)-5+3t+4-3t-3=0\Leftrightarrow 4-4t=0\Leftrightarrow t=1$.
Vậy $A\left( 2;-4;-7 \right),B\left( 2;-2;-1 \right)\Rightarrow \overrightarrow{AB}=\left( 0;2;6 \right)=2\left( 0;1;3 \right)\Rightarrow AB:\left\{ \begin{aligned}
& x=2 \\
& y=-2+t \\
& z=-1+3t \\
\end{aligned} \right.$.
Đáp án B.