Google
Câu hỏi: Trong không gian $Oxyz,$ cho đường thẳng $\left( d \right):\dfrac{x-1}{-1}=\dfrac{y-2}{2}=\dfrac{z-3}{1}$ và 2 điểm $A\left( 0;4;1 \right),B\left( -2;2;0 \right).$ Gọi $\left( \alpha \right)$ là mặt phẳng đi qua 2 điểm $A$ và $B$ đồng thời tạo với $\left( d \right)$ một góc 600. Giả sử mặt phẳng $\left( \alpha \right)$ có dạng: $ax+by-4z+c=0.$ Khi đó, $a+b+c$ bằng
A. $24$
B. $15$
C. $18$
D. $10$
A. $24$
B. $15$
C. $18$
D. $10$
Vì $\left( \alpha \right)$ đi qua 2 điểm $A$ và $B$ nên ta có $4b-4+c=0$ và $-2a+2b+c=0$ suy ra $-2a+2b+4-4b=0$ do đó $a=2-b$
Do góc giữa đường thẳng $\left( d \right)$ và mp $\left( \alpha \right)$ bằng 600 nên ta có:
$\sin {{60}^{0}}=\dfrac{\left| \overrightarrow{{{u}_{d}}}.\overrightarrow{{{n}_{P}}} \right|}{\left| \overrightarrow{{{u}_{d}}} \right|.\left| \overrightarrow{{{n}_{P}}} \right|}=\dfrac{\left| -a+2b-4 \right|}{\sqrt{6}.\sqrt{{{a}^{2}}+{{b}^{2}}+16}}=\dfrac{\sqrt{3}}{2}$
$\Leftrightarrow \sqrt{2}.\left| -a+2b-4 \right|=3.\sqrt{{{a}^{2}}+{{b}^{2}}+16}$
Thay $a=2-b$ vào phương trình trên ta được $\sqrt{2}\left| 3b-6 \right|=3.\sqrt{{{\left( 2-b \right)}^{2}}+{{b}^{2}}+16}$
$\Leftrightarrow 2{{\left( b-2 \right)}^{2}}=2{{b}^{2}}-4b+20\Leftrightarrow b=-3.$
Với $b=-3,$ ta có $a=5;c=16$. Do đó $a+b+c=18.$
Do góc giữa đường thẳng $\left( d \right)$ và mp $\left( \alpha \right)$ bằng 600 nên ta có:
$\sin {{60}^{0}}=\dfrac{\left| \overrightarrow{{{u}_{d}}}.\overrightarrow{{{n}_{P}}} \right|}{\left| \overrightarrow{{{u}_{d}}} \right|.\left| \overrightarrow{{{n}_{P}}} \right|}=\dfrac{\left| -a+2b-4 \right|}{\sqrt{6}.\sqrt{{{a}^{2}}+{{b}^{2}}+16}}=\dfrac{\sqrt{3}}{2}$
$\Leftrightarrow \sqrt{2}.\left| -a+2b-4 \right|=3.\sqrt{{{a}^{2}}+{{b}^{2}}+16}$
Thay $a=2-b$ vào phương trình trên ta được $\sqrt{2}\left| 3b-6 \right|=3.\sqrt{{{\left( 2-b \right)}^{2}}+{{b}^{2}}+16}$
$\Leftrightarrow 2{{\left( b-2 \right)}^{2}}=2{{b}^{2}}-4b+20\Leftrightarrow b=-3.$
Với $b=-3,$ ta có $a=5;c=16$. Do đó $a+b+c=18.$
Đáp án C.