Google
Câu hỏi: Trong không gian Oxyz cho đường thẳng $\left( d \right)$ là giao tuyến của hai mặt phẳng $\left( P \right):x-z\sin \alpha +\cos \alpha =0$ ; $\left( Q \right):y-z.\cos \alpha -\sin \alpha =0; \alpha \in \left( 0;\dfrac{\pi }{2} \right)$. Góc giữa $\left( d \right)$ và trục Oz là:
A. $30{}^\circ $
B. $45{}^\circ $
C. $60{}^\circ $
D. $90{}^\circ $
A. $30{}^\circ $
B. $45{}^\circ $
C. $60{}^\circ $
D. $90{}^\circ $
Ta có: $\overrightarrow{{{n}_{\left( P \right)}}}\left( 1;0;-\sin \alpha \right),\overrightarrow{{{n}_{\left( Q \right)}}}\left( 0;1;-\cos \alpha \right)\Rightarrow \overrightarrow{{{u}_{d}}}=\left[ \overrightarrow{{{n}_{\left( P \right)}}};\overrightarrow{{{n}_{\left( Q \right)}}} \right]=\left( \sin \alpha ;\cos \alpha ;1 \right)$
Mặt khác $\overrightarrow{{{u}_{Oz}}}=\left( 0;0;1 \right)\Rightarrow \cos \widehat{\left( d;Oz \right)}=\dfrac{\left| 1 \right|}{\sqrt{{{\sin }^{2}}\alpha +{{\cos }^{2}}\alpha +1}}=\dfrac{1}{\sqrt{2}}\Rightarrow \widehat{\left( d;Oz \right)}=45{}^\circ $.
Mặt khác $\overrightarrow{{{u}_{Oz}}}=\left( 0;0;1 \right)\Rightarrow \cos \widehat{\left( d;Oz \right)}=\dfrac{\left| 1 \right|}{\sqrt{{{\sin }^{2}}\alpha +{{\cos }^{2}}\alpha +1}}=\dfrac{1}{\sqrt{2}}\Rightarrow \widehat{\left( d;Oz \right)}=45{}^\circ $.
Đáp án B.