Google
Câu hỏi: Trong không gian $Oxyz$, cho đường thẳng $\Delta : \dfrac{x-1}{-2}=\dfrac{y}{2}=\dfrac{z-2}{1}$ và mặt phẳng $\left( P \right): 2x-y+z-3=0$. Gọi $\left( S \right)$ là mặt cầu tâm $I$ thuộc $\Delta $ và tiếp xúc $\left( P \right)$ tai điểm $H\left( 1 ;-1 ; 0 \right)$. Phương trình của $\left( S \right)$ là
A. ${{\left( x-3 \right)}^{2}}+{{\left( y+2 \right)}^{2}}+{{\left( z-1 \right)}^{2}}=36$.
B. ${{\left( x-3 \right)}^{2}}+{{\left( y-2 \right)}^{2}}+{{\left( z-1 \right)}^{2}}=36$.
C. ${{\left( x-3 \right)}^{2}}+{{\left( y+2 \right)}^{2}}+{{\left( z-1 \right)}^{2}}=6$.
D. ${{\left( x-3 \right)}^{2}}+{{\left( y-2 \right)}^{2}}+{{\left( z-1 \right)}^{2}}=6$.
A. ${{\left( x-3 \right)}^{2}}+{{\left( y+2 \right)}^{2}}+{{\left( z-1 \right)}^{2}}=36$.
B. ${{\left( x-3 \right)}^{2}}+{{\left( y-2 \right)}^{2}}+{{\left( z-1 \right)}^{2}}=36$.
C. ${{\left( x-3 \right)}^{2}}+{{\left( y+2 \right)}^{2}}+{{\left( z-1 \right)}^{2}}=6$.
D. ${{\left( x-3 \right)}^{2}}+{{\left( y-2 \right)}^{2}}+{{\left( z-1 \right)}^{2}}=6$.
Ta có: $I\in \Delta : \dfrac{x-1}{-2}=\dfrac{y}{2}=\dfrac{z-2}{1}\Rightarrow I\left( 1-2t ; 2t ; 2+t \right) \left( t\in \mathbb{R} \right)$.
$\left( S \right)$ là mặt cầu tâm $I$ thuộc $\Delta $ và tiếp xúc $\left( P \right)$ tai điểm $H\left( 1 ;-1 ; 0 \right)$ :
$d\left( I, \left( P \right) \right)=IH\Leftrightarrow \dfrac{\left| 2\left( 1-2t \right)-2t+\left( 2+t \right)-3 \right|}{\sqrt{{{2}^{2}}+{{\left( -1 \right)}^{2}}+{{1}^{2}}}}=\sqrt{{{\left( 2t \right)}^{2}}+{{\left( -1-2t \right)}^{2}}+{{\left( -2-t \right)}^{2}}}$
$\Leftrightarrow \dfrac{\left| -5t+1 \right|}{\sqrt{6}}=\sqrt{9{{t}^{2}}+8t+5}\Leftrightarrow \dfrac{25{{t}^{2}}-10t+1}{6}=9{{t}^{2}}+8t+5\Leftrightarrow {{t}^{2}}+2t+1=0\Leftrightarrow t=-1$.
$\Rightarrow I\left( 3 ; -2 ; 1 \right)$, $r=IH=\sqrt{6}$.
Vậy: $\left( S \right): {{\left( x-3 \right)}^{2}}+{{\left( y+2 \right)}^{2}}+{{\left( z-1 \right)}^{2}}=6$.
$\left( S \right)$ là mặt cầu tâm $I$ thuộc $\Delta $ và tiếp xúc $\left( P \right)$ tai điểm $H\left( 1 ;-1 ; 0 \right)$ :
$d\left( I, \left( P \right) \right)=IH\Leftrightarrow \dfrac{\left| 2\left( 1-2t \right)-2t+\left( 2+t \right)-3 \right|}{\sqrt{{{2}^{2}}+{{\left( -1 \right)}^{2}}+{{1}^{2}}}}=\sqrt{{{\left( 2t \right)}^{2}}+{{\left( -1-2t \right)}^{2}}+{{\left( -2-t \right)}^{2}}}$
$\Leftrightarrow \dfrac{\left| -5t+1 \right|}{\sqrt{6}}=\sqrt{9{{t}^{2}}+8t+5}\Leftrightarrow \dfrac{25{{t}^{2}}-10t+1}{6}=9{{t}^{2}}+8t+5\Leftrightarrow {{t}^{2}}+2t+1=0\Leftrightarrow t=-1$.
$\Rightarrow I\left( 3 ; -2 ; 1 \right)$, $r=IH=\sqrt{6}$.
Vậy: $\left( S \right): {{\left( x-3 \right)}^{2}}+{{\left( y+2 \right)}^{2}}+{{\left( z-1 \right)}^{2}}=6$.
Đáp án C.