Google
Câu hỏi: Trong không gian $Oxyz$, cho đường thẳng $\Delta : \dfrac{x-1}{1}=\dfrac{y+1}{1}=\dfrac{z}{2}$ và hai mặt phẳng $\left( P \right): x-2y+3z=0, \left( Q \right): x-2y+3z+4=0$. Mặt cầu có tâm thuộc đường thẳng $\Delta $ và tiếp xúc với cả hai mặt phẳng $\left( P \right)$ và $\left( Q \right)$ có bán kính bằng
A. $\dfrac{1}{7}$.
B. $\dfrac{\sqrt{7}}{7}$.
C. $\sqrt{\dfrac{2}{7}}$.
D. $\dfrac{2}{7}$.
A. $\dfrac{1}{7}$.
B. $\dfrac{\sqrt{7}}{7}$.
C. $\sqrt{\dfrac{2}{7}}$.
D. $\dfrac{2}{7}$.
Giả sử mặt cầu có tâm $I$, bán kính $R$.
Ta có $I\in \Delta :\Rightarrow I=\left( t+1; t-1; 2t \right)$.
Ta có $d\left( I; \left( P \right) \right)=d\left( I; \left( Q \right) \right)=R\Leftrightarrow \dfrac{\left| t+1-2\left( t-1 \right)+3.2t \right|}{\sqrt{{{1}^{2}}+{{\left( -2 \right)}^{2}}+{{3}^{2}}}}=\dfrac{\left| t+1-2\left( t-1 \right)+3.2t+4 \right|}{\sqrt{{{1}^{2}}+{{\left( -2 \right)}^{2}}+{{3}^{2}}}}$
$\Leftrightarrow|5 t+3|=|5 t+7| \Leftrightarrow 5 t+3=-5 t-7 \Leftrightarrow t=-1 \Rightarrow I(0 ;-2 ;-2)$
Bán kính mặt cầu là $R=d\left( I; \left( P \right) \right)=\dfrac{\left| 0-2.\left( -2 \right)+3\left( -2 \right) \right|}{\sqrt{{{1}^{2}}+{{\left( -2 \right)}^{2}}+{{3}^{2}}}}=\sqrt{\dfrac{2}{7}}$.
Ta có $I\in \Delta :\Rightarrow I=\left( t+1; t-1; 2t \right)$.
Ta có $d\left( I; \left( P \right) \right)=d\left( I; \left( Q \right) \right)=R\Leftrightarrow \dfrac{\left| t+1-2\left( t-1 \right)+3.2t \right|}{\sqrt{{{1}^{2}}+{{\left( -2 \right)}^{2}}+{{3}^{2}}}}=\dfrac{\left| t+1-2\left( t-1 \right)+3.2t+4 \right|}{\sqrt{{{1}^{2}}+{{\left( -2 \right)}^{2}}+{{3}^{2}}}}$
$\Leftrightarrow|5 t+3|=|5 t+7| \Leftrightarrow 5 t+3=-5 t-7 \Leftrightarrow t=-1 \Rightarrow I(0 ;-2 ;-2)$
Bán kính mặt cầu là $R=d\left( I; \left( P \right) \right)=\dfrac{\left| 0-2.\left( -2 \right)+3\left( -2 \right) \right|}{\sqrt{{{1}^{2}}+{{\left( -2 \right)}^{2}}+{{3}^{2}}}}=\sqrt{\dfrac{2}{7}}$.
Đáp án C.