Google
Câu hỏi: Trong không gian $Oxyz$, cho đường thẳng $\Delta :\dfrac{x-1}{1}=\dfrac{y-1}{2}=\dfrac{z}{2}$ và mặt phẳng $\left( P \right):ax+by+cz-3=0$. Biết mặt phẳng $\left( P \right)$ chứa $\Delta $ và cách $O$ một khoảng lớn nhất. Tổng $a+b+c$ bằng
A. 1.
B. 3.
C. $-2$.
D. $-1$.
Ta có: $\Delta $ qua $M\left( 1;1;0 \right),\overrightarrow{{{u}_{\Delta }}}\left( 1;2;2 \right)$.
Gọi $H$ và $K$ lần lượt là hình chiếu của $O$ trên $\left( P \right)$ và $\Delta $ ta có: $d\left( O;\left( P \right) \right)=OH,d\left( O;\Delta \right)=OK$.
Mặt khác $OH\le OK\Rightarrow d{{\left( O;\left( P \right) \right)}_{\max }}=OK$
$\Leftrightarrow OK\bot \left( P \right)$.
Khi đó gọi $K\left( 1+t;1+2t;2t \right)\Rightarrow \overrightarrow{OK}\left( 1+t;1+2t;2t \right)$
Giải $\overrightarrow{OK}.\overrightarrow{{{u}_{\Delta }}}=0\Leftrightarrow 1+t+2+4t+4t=0$
$\Leftrightarrow t=-\dfrac{1}{3}\Rightarrow \overrightarrow{OK}=\left( \dfrac{2}{3};\dfrac{1}{3};-\dfrac{2}{3} \right)\Rightarrow \overrightarrow{{{n}_{\left( P \right)}}}=\left( 2;1;-2 \right)$
Mặt phẳng $\left( P \right)$ qua $M$ suy ra $\left( P \right):2x+y-2z-3=0\Rightarrow \left\{ \begin{aligned}
& a=2 \\
& b=1 \\
& c=-2 \\
\end{aligned} \right.\Rightarrow a+b+c=1$.
A. 1.
B. 3.
C. $-2$.
D. $-1$.
Ta có: $\Delta $ qua $M\left( 1;1;0 \right),\overrightarrow{{{u}_{\Delta }}}\left( 1;2;2 \right)$.
Gọi $H$ và $K$ lần lượt là hình chiếu của $O$ trên $\left( P \right)$ và $\Delta $ ta có: $d\left( O;\left( P \right) \right)=OH,d\left( O;\Delta \right)=OK$.
Mặt khác $OH\le OK\Rightarrow d{{\left( O;\left( P \right) \right)}_{\max }}=OK$
$\Leftrightarrow OK\bot \left( P \right)$.
Khi đó gọi $K\left( 1+t;1+2t;2t \right)\Rightarrow \overrightarrow{OK}\left( 1+t;1+2t;2t \right)$
Giải $\overrightarrow{OK}.\overrightarrow{{{u}_{\Delta }}}=0\Leftrightarrow 1+t+2+4t+4t=0$
$\Leftrightarrow t=-\dfrac{1}{3}\Rightarrow \overrightarrow{OK}=\left( \dfrac{2}{3};\dfrac{1}{3};-\dfrac{2}{3} \right)\Rightarrow \overrightarrow{{{n}_{\left( P \right)}}}=\left( 2;1;-2 \right)$
Mặt phẳng $\left( P \right)$ qua $M$ suy ra $\left( P \right):2x+y-2z-3=0\Rightarrow \left\{ \begin{aligned}
& a=2 \\
& b=1 \\
& c=-2 \\
\end{aligned} \right.\Rightarrow a+b+c=1$.
Đáp án A.