Google
Câu hỏi: Trong không gian $Oxyz$, cho đường thẳng $\Delta :\left\{ \begin{array}{*{35}{l}}
x=t \\
y=3 \\
z=-2+t \\
\end{array} \right. $ và mặt cầu $ (S):{{\left( x-2-m \right)}^{2}}+{{\left( y-1+m \right)}^{2}}+{{\left( z-2+m \right)}^{2}}=25 $, với $ m$ là tham số.
Gọi $I$ là tâm của $(S)$. Khi $\Delta $ cắt $(S)$ tại hai điểm có khoảng cách lớn nhất, $OI$ bằng
A. $\sqrt{19}$.
B. $2\sqrt{19}$.
C. $3$.
D. $\sqrt{3}$.
x=t \\
y=3 \\
z=-2+t \\
\end{array} \right. $ và mặt cầu $ (S):{{\left( x-2-m \right)}^{2}}+{{\left( y-1+m \right)}^{2}}+{{\left( z-2+m \right)}^{2}}=25 $, với $ m$ là tham số.
Gọi $I$ là tâm của $(S)$. Khi $\Delta $ cắt $(S)$ tại hai điểm có khoảng cách lớn nhất, $OI$ bằng
A. $\sqrt{19}$.
B. $2\sqrt{19}$.
C. $3$.
D. $\sqrt{3}$.
Ta có $I\left( 2+m,1-m,2-m \right)$. Suy ra $I$ thuộc đường thẳng $d:\left\{ \begin{aligned}
& x=2+t\prime \\
& y=1-t\prime \\
& z=2-t\prime \\
\end{aligned} \right.$.
Dễ thấy $\Delta $ và $d$ là hai đường thẳng chéo nhau và vuông góc với nhau.
Mặt khác $(S)$ có bán kính bằng $5$.
Khi $\Delta $ cắt $(S)$ tại hai điểm, gọi $A,B$ là hai giao điểm và $h$ là khoảng cách từ $I$ đến $\Delta $. Ta có $\dfrac{AB}{2}=\sqrt{{{R}^{2}}-{{h}^{2}}}=\sqrt{25-{{h}^{2}}}$. Do đó để $AB$ lớn nhất thì $h$ phải nhỏ nhất.
Ta thấy $h$ nhỏ nhất bằng khoảng cách giữa $\Delta $ và $d$. Khi đó $I$ là một điểm đầu của đoạn vuông góc chung của $\Delta $ và $d$.
Dễ tìm được $I=\left( 2;1;2 \right)$ và điểm đầu còn lại của đoạn vuông góc chung là $J\left( 3;3;1 \right)$. Ta có ${{h}_{\min }}=\sqrt{6}$ và $OI=3$.
& x=2+t\prime \\
& y=1-t\prime \\
& z=2-t\prime \\
\end{aligned} \right.$.
Dễ thấy $\Delta $ và $d$ là hai đường thẳng chéo nhau và vuông góc với nhau.
Mặt khác $(S)$ có bán kính bằng $5$.
Khi $\Delta $ cắt $(S)$ tại hai điểm, gọi $A,B$ là hai giao điểm và $h$ là khoảng cách từ $I$ đến $\Delta $. Ta có $\dfrac{AB}{2}=\sqrt{{{R}^{2}}-{{h}^{2}}}=\sqrt{25-{{h}^{2}}}$. Do đó để $AB$ lớn nhất thì $h$ phải nhỏ nhất.
Ta thấy $h$ nhỏ nhất bằng khoảng cách giữa $\Delta $ và $d$. Khi đó $I$ là một điểm đầu của đoạn vuông góc chung của $\Delta $ và $d$.
Dễ tìm được $I=\left( 2;1;2 \right)$ và điểm đầu còn lại của đoạn vuông góc chung là $J\left( 3;3;1 \right)$. Ta có ${{h}_{\min }}=\sqrt{6}$ và $OI=3$.
Đáp án C.