Google
Câu hỏi: Trong không gian $Oxyz$, cho đường thẳng $d: \dfrac{x-2}{1}=\dfrac{y+1}{-1}=\dfrac{z-1}{1}$ và mặt phẳng $\left( P \right):x+y-z-3=0$. Gọi $\left( Q \right)$ là mặt phẳng chứa đường thẳng $d$ và vuông góc vói mặt phẳng $\left( P \right)$. Khoảng cách từ điểm $M\left( 3;1;-2 \right)$ đến $\left( Q \right)$ bằng
A. $2$.
B. $\sqrt{8}$.
C. $\dfrac{\sqrt{2}}{2}$.
D. $\sqrt{2}$.
A. $2$.
B. $\sqrt{8}$.
C. $\dfrac{\sqrt{2}}{2}$.
D. $\sqrt{2}$.
Đường thẳng $d$ có một vectơ chỉ phương là $\overrightarrow{u}=\left( 1;-1; 1 \right)$ và điểm $A\left( 2;-1;1 \right)\in d$.
Mặt phẳng $\left( P \right)$ có một vectơ pháp tuyến là $\overrightarrow{{{n}_{P}}}=\left( 1; 1; -1 \right)$.
Từ giả thuyết suy ra $\left( Q \right)$ đi qua điểm $A\left( 2;-1;1 \right)$ và có một vectơ pháp tuyến là $\overrightarrow{n}=\left[ \overrightarrow{u};\overrightarrow{n}_{P} \right]=\left( 0;\2;2 \right)$.
Phương trình mặt phẳng $\left( Q \right)$ là $2\left( y+1 \right)+2\left( z-1 \right)=0\Leftrightarrow y+z=0$.
Vậy $d\left( M, \left( Q \right) \right)=\dfrac{\left| {{y}_{M}}+{{z}_{M}} \right|}{\sqrt{{{0}^{2}}+{{1}^{2}}+{{1}^{2}}}}=\dfrac{\sqrt{2}}{2}$.
Mặt phẳng $\left( P \right)$ có một vectơ pháp tuyến là $\overrightarrow{{{n}_{P}}}=\left( 1; 1; -1 \right)$.
Từ giả thuyết suy ra $\left( Q \right)$ đi qua điểm $A\left( 2;-1;1 \right)$ và có một vectơ pháp tuyến là $\overrightarrow{n}=\left[ \overrightarrow{u};\overrightarrow{n}_{P} \right]=\left( 0;\2;2 \right)$.
Phương trình mặt phẳng $\left( Q \right)$ là $2\left( y+1 \right)+2\left( z-1 \right)=0\Leftrightarrow y+z=0$.
Vậy $d\left( M, \left( Q \right) \right)=\dfrac{\left| {{y}_{M}}+{{z}_{M}} \right|}{\sqrt{{{0}^{2}}+{{1}^{2}}+{{1}^{2}}}}=\dfrac{\sqrt{2}}{2}$.
Đáp án C.