Google
Câu hỏi: Trong không gian $Oxyz$, cho đường thẳng $d:$ $\dfrac{x-1}{-1}=\dfrac{y-2}{2}=\dfrac{z+1}{-1}$ và mặt phẳng $\left( P \right):$ $x-y+z-1=0$. Hình chiếu vuông góc của $d$ trên $\left( P \right)$ là đường thẳng có phương trình
A. $\dfrac{x}{1}=\dfrac{y-3}{2}=\dfrac{z+2}{1}$.
B. $\dfrac{x}{1}=\dfrac{y+3}{-2}=\dfrac{z+2}{1}$.
C. $\dfrac{x-2}{1}=\dfrac{y-1}{2}=\dfrac{z}{1}$.
D. $\dfrac{x}{1}=\dfrac{y+3}{2}=\dfrac{z-2}{-1}$.
A. $\dfrac{x}{1}=\dfrac{y-3}{2}=\dfrac{z+2}{1}$.
B. $\dfrac{x}{1}=\dfrac{y+3}{-2}=\dfrac{z+2}{1}$.
C. $\dfrac{x-2}{1}=\dfrac{y-1}{2}=\dfrac{z}{1}$.
D. $\dfrac{x}{1}=\dfrac{y+3}{2}=\dfrac{z-2}{-1}$.
Cách 1.
Phương trình tham số đường thẳng $d:$ $\left\{ \begin{aligned}
& x=1-t \\
& y=2+2t \\
& z=-1-t \\
\end{aligned} \right.,\ t\in \mathbb{R}$.
Gọi $A=d\cap \left( P \right)$. Ta có $\left\{ \begin{aligned}
& {{x}_{A}}=1-t \\
& {{y}_{A}}=2+2t \\
& {{z}_{A}}=-1-t \\
& {{x}_{A}}-{{y}_{A}}+{{z}_{A}}-1=0 \\
\end{aligned} \right.\Rightarrow t=-\dfrac{3}{4}$.
Suy ra $A\left( \dfrac{7}{4};\dfrac{1}{2};-\dfrac{1}{4} \right)$. Lấy điểm $B\left( 1; 2; -1 \right)\in d$.
Gọi ${d}'$ là đường thẳng đi qua điểm $B$ và vuông góc với mặt phẳng $\left( P \right)$.
Khi đó, ${d}'$ có một vectơ chỉ phương $\overrightarrow{{{u}_{{{d}'}}}}=\overrightarrow{{{n}_{\left( P \right)}}}=\left( 1; -1; 1 \right)$, nên phương trình tham số ${d}'$ có dạng ${d}':$ $\left\{ \begin{aligned}
& x=1+s \\
& y=2-s \\
& z=-1+s \\
\end{aligned} \right., s\in \mathbb{R}$.
Gọi điểm $H$ là hình chiếu vuông góc của điểm $B$ trên mặt phẳng $\left( P \right)$.
Khi đó $H={d}'\cap \left( P \right)$ $\Rightarrow \left\{ \begin{aligned}
& {{x}_{H}}=1+s \\
& {{y}_{H}}=2-s \\
& {{z}_{H}}=-1+s \\
& {{x}_{H}}-{{y}_{H}}+{{z}_{H}}-1=0 \\
\end{aligned} \right.\Rightarrow s=1$.
Suy ra $H\left( 2;1;0 \right)$. Ta có $\overrightarrow{AH}=\left( \dfrac{1}{4};\dfrac{1}{2};\dfrac{1}{4} \right)$.
Đường thẳng cần tìm là đường thẳng đi qua hai điểm $A$ và $H$, có một vectơ chỉ phương $\overrightarrow{u}=4\overrightarrow{AH}=\left( 1;2;1 \right)$ và đi qua $H\left( 2;1;0 \right)$ nên có phương trình là $\dfrac{x-2}{1}=\dfrac{y-1}{2}=\dfrac{z}{1}$.
Cách 2.
Mặt phẳng $\left( Q \right)$ chứa $d$ và vuông góc với mặt phẳng $\left( P \right)$ có một vectơ pháp tuyến là
$\overrightarrow{{{n}_{\left( Q \right)}}}=\left[ \overrightarrow{{{u}_{d}}},\overrightarrow{{{n}_{\left( P \right)}}} \right]=\left( 1;0;-1 \right)$. Lấy điểm $A\left( 1;2;-1 \right)\in d$.
Phương trình mặt phẳng $\left( Q \right)$ đi qua điểm $A\left( 1;2;-1 \right)$ và nhận $\overrightarrow{{{n}_{\left( Q \right)}}}=\left( 1;0;-1 \right)$ làm vectơ pháp tuyến có dạng $\left( Q \right):$ $x-z-2=0$.
Gọi ${d}'=\left( P \right)\cap \left( Q \right)$. Khi đó ${d}'$ là hình chiếu vuông góc của $d$ trên $\left( P \right)$.
Từ $\left\{ \begin{aligned}
& x-y+z-1=0 \\
& x-z-2=0 \\
\end{aligned} \right. $, ta chọn $ z=t $ ta được $ \left\{ \begin{aligned}
& x=2+t \\
& y=1+2t \\
& z=t \\
\end{aligned} \right. $, với $ t\in \mathbb{R}$.
Hay phương trình chính tắc đường thẳng cần tìm $\left( {{d}'} \right)$ là $\dfrac{x-2}{1}=\dfrac{y-1}{2}=\dfrac{z}{1}$.
Phương trình tham số đường thẳng $d:$ $\left\{ \begin{aligned}
& x=1-t \\
& y=2+2t \\
& z=-1-t \\
\end{aligned} \right.,\ t\in \mathbb{R}$.
Gọi $A=d\cap \left( P \right)$. Ta có $\left\{ \begin{aligned}
& {{x}_{A}}=1-t \\
& {{y}_{A}}=2+2t \\
& {{z}_{A}}=-1-t \\
& {{x}_{A}}-{{y}_{A}}+{{z}_{A}}-1=0 \\
\end{aligned} \right.\Rightarrow t=-\dfrac{3}{4}$.
Suy ra $A\left( \dfrac{7}{4};\dfrac{1}{2};-\dfrac{1}{4} \right)$. Lấy điểm $B\left( 1; 2; -1 \right)\in d$.
Gọi ${d}'$ là đường thẳng đi qua điểm $B$ và vuông góc với mặt phẳng $\left( P \right)$.
Khi đó, ${d}'$ có một vectơ chỉ phương $\overrightarrow{{{u}_{{{d}'}}}}=\overrightarrow{{{n}_{\left( P \right)}}}=\left( 1; -1; 1 \right)$, nên phương trình tham số ${d}'$ có dạng ${d}':$ $\left\{ \begin{aligned}
& x=1+s \\
& y=2-s \\
& z=-1+s \\
\end{aligned} \right., s\in \mathbb{R}$.
Gọi điểm $H$ là hình chiếu vuông góc của điểm $B$ trên mặt phẳng $\left( P \right)$.
Khi đó $H={d}'\cap \left( P \right)$ $\Rightarrow \left\{ \begin{aligned}
& {{x}_{H}}=1+s \\
& {{y}_{H}}=2-s \\
& {{z}_{H}}=-1+s \\
& {{x}_{H}}-{{y}_{H}}+{{z}_{H}}-1=0 \\
\end{aligned} \right.\Rightarrow s=1$.
Suy ra $H\left( 2;1;0 \right)$. Ta có $\overrightarrow{AH}=\left( \dfrac{1}{4};\dfrac{1}{2};\dfrac{1}{4} \right)$.
Đường thẳng cần tìm là đường thẳng đi qua hai điểm $A$ và $H$, có một vectơ chỉ phương $\overrightarrow{u}=4\overrightarrow{AH}=\left( 1;2;1 \right)$ và đi qua $H\left( 2;1;0 \right)$ nên có phương trình là $\dfrac{x-2}{1}=\dfrac{y-1}{2}=\dfrac{z}{1}$.
Cách 2.
Mặt phẳng $\left( Q \right)$ chứa $d$ và vuông góc với mặt phẳng $\left( P \right)$ có một vectơ pháp tuyến là
$\overrightarrow{{{n}_{\left( Q \right)}}}=\left[ \overrightarrow{{{u}_{d}}},\overrightarrow{{{n}_{\left( P \right)}}} \right]=\left( 1;0;-1 \right)$. Lấy điểm $A\left( 1;2;-1 \right)\in d$.
Phương trình mặt phẳng $\left( Q \right)$ đi qua điểm $A\left( 1;2;-1 \right)$ và nhận $\overrightarrow{{{n}_{\left( Q \right)}}}=\left( 1;0;-1 \right)$ làm vectơ pháp tuyến có dạng $\left( Q \right):$ $x-z-2=0$.
Gọi ${d}'=\left( P \right)\cap \left( Q \right)$. Khi đó ${d}'$ là hình chiếu vuông góc của $d$ trên $\left( P \right)$.
Từ $\left\{ \begin{aligned}
& x-y+z-1=0 \\
& x-z-2=0 \\
\end{aligned} \right. $, ta chọn $ z=t $ ta được $ \left\{ \begin{aligned}
& x=2+t \\
& y=1+2t \\
& z=t \\
\end{aligned} \right. $, với $ t\in \mathbb{R}$.
Hay phương trình chính tắc đường thẳng cần tìm $\left( {{d}'} \right)$ là $\dfrac{x-2}{1}=\dfrac{y-1}{2}=\dfrac{z}{1}$.
Đáp án C.