Google
Câu hỏi: Trong không gian Oxyz, cho đường thẳng d: $\dfrac{x+1}{2}=\dfrac{y}{1}=\dfrac{z-2}{-1}$ và hai điểm $A\left( -1;3;1 \right)$ và $B\left( 0;2;-1 \right)$. Gọi $C\left( m;n;p \right)$ là điểm thuộc đường thẳng d sao cho tam giác ABC vuông tại A. Giá trị của tổng $m+2n+p$ bằng:
A. 0.
B. 2.
C. 3.
D. –5.
A. 0.
B. 2.
C. 3.
D. –5.
Vì $C\in d$ nên tọa độ của C có dạng $C\left( -1+2t;t;2-t \right)$.
Ta có $\overrightarrow{AB}=\left( 1;-1;-2 \right)$ và $\overrightarrow{AC}=\left( 2t;t-3;1-t \right)$.
Vì $\Delta ABC$ vuông tại A nên $\overrightarrow{AC}.\overrightarrow{AB}=0\Leftrightarrow 2t-t+3-2+2t=0\Leftrightarrow 3t+1=0\Leftrightarrow t=\dfrac{-1}{3}$.
$\Rightarrow C\left( \dfrac{-5}{3};\dfrac{-1}{3};\dfrac{7}{3} \right)\Rightarrow \left\{ \begin{aligned}
& m=\dfrac{-5}{3} \\
& n=\dfrac{-1}{3} \\
& p=\dfrac{7}{3} \\
\end{aligned} \right.\Rightarrow m+2n+p=\dfrac{-5}{3}+\left( \dfrac{-2}{3} \right)+\dfrac{7}{3}=0$.
Ta có $\overrightarrow{AB}=\left( 1;-1;-2 \right)$ và $\overrightarrow{AC}=\left( 2t;t-3;1-t \right)$.
Vì $\Delta ABC$ vuông tại A nên $\overrightarrow{AC}.\overrightarrow{AB}=0\Leftrightarrow 2t-t+3-2+2t=0\Leftrightarrow 3t+1=0\Leftrightarrow t=\dfrac{-1}{3}$.
$\Rightarrow C\left( \dfrac{-5}{3};\dfrac{-1}{3};\dfrac{7}{3} \right)\Rightarrow \left\{ \begin{aligned}
& m=\dfrac{-5}{3} \\
& n=\dfrac{-1}{3} \\
& p=\dfrac{7}{3} \\
\end{aligned} \right.\Rightarrow m+2n+p=\dfrac{-5}{3}+\left( \dfrac{-2}{3} \right)+\dfrac{7}{3}=0$.
Đáp án A.