Trong không gian $Oxyz$, cho đường thẳng $d:\left\{...

Giả sử $d\cap \left( Oxy \right)=A\Rightarrow A\left( \dfrac{7}{3}; \dfrac{11}{3}; 0 \right)$.
Lấy điểm $M\left( 1; 1; 4 \right)\in d$.
Gọi $H$ là hình chiếu của $M$ xuống mặt phẳng $\left( Oxy \right)\Rightarrow H\left( 1; 1; 0 \right)$.
Gọi ${M}'$ đối xứng với $M$ qua mặt phẳng $\left( Oxy \right)\Rightarrow {M}'\left( 1; 1; -4 \right)$.
Suy ra đường thẳng ${d}'$ đi qua hai điểm $A, {M}'$.
Ta có $\overrightarrow{{M}'A}=\left( \dfrac{4}{3}; \dfrac{8}{3}; 4 \right)=\dfrac{4}{3}\left( 1; 2; 3 \right)$.
Suy ra đường thẳng ${d}'$ đi qua điểm ${M}'\left( 1; 1; -4 \right)$, có vectơ chỉ phương $\overrightarrow{u}=\left( 1; 2; 3 \right)$ nên có phương trình là $\left\{ \begin{aligned}
& x=1+{t}' \\
& y=1+2{t}' \\
& z=-4+3{t}' \\
\end{aligned} \right.$.