Google
Câu hỏi: Trong không gian $Oxyz$, cho đường thẳng $d:\left\{ \begin{aligned}
& x=0 \\
& y=2-t \\
& z=t \\
\end{aligned} \right. $. Gọi $ \left( P \right) $ là mặt phẳng chứa đường thẳng $ d $ và tạo với mặt phẳng $ \left( Oxy \right) $ một góc $ 45{}^\circ $. Khoảng cách từ $ M\left( 1;4;5 \right) $ đến mặt phẳng $ \left( P \right)$ bằng
A. $\dfrac{7\sqrt{2}}{2}$.
B. $2\sqrt{2}$.
C. $\sqrt{2}$.
D. $3\sqrt{2}$.
& x=0 \\
& y=2-t \\
& z=t \\
\end{aligned} \right. $. Gọi $ \left( P \right) $ là mặt phẳng chứa đường thẳng $ d $ và tạo với mặt phẳng $ \left( Oxy \right) $ một góc $ 45{}^\circ $. Khoảng cách từ $ M\left( 1;4;5 \right) $ đến mặt phẳng $ \left( P \right)$ bằng
A. $\dfrac{7\sqrt{2}}{2}$.
B. $2\sqrt{2}$.
C. $\sqrt{2}$.
D. $3\sqrt{2}$.
Vectơ chỉ phương của $d$ là ${{\vec{u}}_{d}}=\left( 0;-1;1 \right)$. Vectơ pháp tuyến mặt phẳng $\left( Oxy \right)$ là ${{\vec{n}}_{1}}=\left( 0;0;1 \right)$.
Gọi vectơ pháp tuyến của $\left( P \right)$ là ${{\vec{n}}_{P}}=\left( a;b;c \right)$ với ${{a}^{2}}+{{b}^{2}}+{{c}^{2}}>0$
Do $d\subset \left( P \right)$ nên ${{\vec{u}}_{d}}.{{\vec{n}}_{P}}=0\Leftrightarrow -b+c=0\Leftrightarrow b=c$.
$\left( \widehat{\left( P \right),\left( Oxy \right)} \right)=45{}^\circ $ $\Leftrightarrow \left| \cos \left( {{{\vec{n}}}_{P}},{{{\vec{n}}}_{1}} \right) \right|=\dfrac{\sqrt{2}}{2}\Leftrightarrow \dfrac{\left| c \right|}{\sqrt{{{a}^{2}}+{{b}^{2}}+{{c}^{2}}}}=\dfrac{\sqrt{2}}{2}$
$\Leftrightarrow \dfrac{\left| c \right|}{\sqrt{{{a}^{2}}+2{{c}^{2}}}}=\dfrac{\sqrt{2}}{2}$ $\Leftrightarrow 4{{c}^{2}}=2\left( {{a}^{2}}+2{{c}^{2}} \right)\Leftrightarrow a=0$.
Với $b=c=1$ ta được ${{\vec{n}}_{P}}=\left( 0;1;1 \right)$. Điểm $A\left( 0;2;0 \right)\in d\subset \left( P \right)$ nên $A\left( 0;2;0 \right)\in \left( P \right)$
$\left( P \right):y+z-2=0$.
$d\left( M,\left( P \right) \right)=\dfrac{\left| 4+5-2 \right|}{\sqrt{{{1}^{2}}+{{1}^{2}}}}=\dfrac{7\sqrt{2}}{2}$
Gọi vectơ pháp tuyến của $\left( P \right)$ là ${{\vec{n}}_{P}}=\left( a;b;c \right)$ với ${{a}^{2}}+{{b}^{2}}+{{c}^{2}}>0$
Do $d\subset \left( P \right)$ nên ${{\vec{u}}_{d}}.{{\vec{n}}_{P}}=0\Leftrightarrow -b+c=0\Leftrightarrow b=c$.
$\left( \widehat{\left( P \right),\left( Oxy \right)} \right)=45{}^\circ $ $\Leftrightarrow \left| \cos \left( {{{\vec{n}}}_{P}},{{{\vec{n}}}_{1}} \right) \right|=\dfrac{\sqrt{2}}{2}\Leftrightarrow \dfrac{\left| c \right|}{\sqrt{{{a}^{2}}+{{b}^{2}}+{{c}^{2}}}}=\dfrac{\sqrt{2}}{2}$
$\Leftrightarrow \dfrac{\left| c \right|}{\sqrt{{{a}^{2}}+2{{c}^{2}}}}=\dfrac{\sqrt{2}}{2}$ $\Leftrightarrow 4{{c}^{2}}=2\left( {{a}^{2}}+2{{c}^{2}} \right)\Leftrightarrow a=0$.
Với $b=c=1$ ta được ${{\vec{n}}_{P}}=\left( 0;1;1 \right)$. Điểm $A\left( 0;2;0 \right)\in d\subset \left( P \right)$ nên $A\left( 0;2;0 \right)\in \left( P \right)$
$\left( P \right):y+z-2=0$.
$d\left( M,\left( P \right) \right)=\dfrac{\left| 4+5-2 \right|}{\sqrt{{{1}^{2}}+{{1}^{2}}}}=\dfrac{7\sqrt{2}}{2}$
Đáp án A.