Google
Câu hỏi: Trong không gian Oxyz, cho đường thẳng $d:\left\{ \begin{aligned}
& x=1+2t \\
& y=1-t \\
& z=t \\
\end{aligned} \right. $ và hai điểm $ A\left( 1; 0; -1 \right), B\left( 2; 1; 1 \right) $. Điểm $ M\left( x; y; z \right) $ thuộc đường thẳng d sao cho $ 2M{{A}^{2}}-M{{B}^{2}} $ nhỏ nhất. Tính giá trị của biểu thức $ P=x+y+z$
A. 2
B. $\dfrac{5}{3}$
C. 1
D. 3
& x=1+2t \\
& y=1-t \\
& z=t \\
\end{aligned} \right. $ và hai điểm $ A\left( 1; 0; -1 \right), B\left( 2; 1; 1 \right) $. Điểm $ M\left( x; y; z \right) $ thuộc đường thẳng d sao cho $ 2M{{A}^{2}}-M{{B}^{2}} $ nhỏ nhất. Tính giá trị của biểu thức $ P=x+y+z$
A. 2
B. $\dfrac{5}{3}$
C. 1
D. 3
Do $M\in d$ nên $M\left( 1+2t; 1-t; t \right)$
$\Rightarrow M{{A}^{2}}=4{{t}^{2}}+{{\left( t-1 \right)}^{2}}+{{\left( t+1 \right)}^{2}}=6{{t}^{2}}+2; M{{B}^{2}}={{\left( 2t-1 \right)}^{2}}+{{t}^{2}}+{{\left( t-1 \right)}^{2}}=6{{t}^{2}}-6t+2$
$\Rightarrow 2M{{A}^{2}}-M{{B}^{2}}=6{{t}^{2}}+6t+2=6{{\left( t+\dfrac{1}{2} \right)}^{2}}+\dfrac{1}{2}\ge \dfrac{1}{2}, \forall t\in \mathbb{R}$
Suy ra $2M{{A}^{2}}-M{{B}^{2}}$ nhỏ nhất khi và chỉ khi $t=-\dfrac{1}{2}\Rightarrow M\left( 0; \dfrac{3}{2}; -\dfrac{1}{2} \right)$
Vậy $P=0+\dfrac{3}{2}-\dfrac{1}{2}=1$
$\Rightarrow M{{A}^{2}}=4{{t}^{2}}+{{\left( t-1 \right)}^{2}}+{{\left( t+1 \right)}^{2}}=6{{t}^{2}}+2; M{{B}^{2}}={{\left( 2t-1 \right)}^{2}}+{{t}^{2}}+{{\left( t-1 \right)}^{2}}=6{{t}^{2}}-6t+2$
$\Rightarrow 2M{{A}^{2}}-M{{B}^{2}}=6{{t}^{2}}+6t+2=6{{\left( t+\dfrac{1}{2} \right)}^{2}}+\dfrac{1}{2}\ge \dfrac{1}{2}, \forall t\in \mathbb{R}$
Suy ra $2M{{A}^{2}}-M{{B}^{2}}$ nhỏ nhất khi và chỉ khi $t=-\dfrac{1}{2}\Rightarrow M\left( 0; \dfrac{3}{2}; -\dfrac{1}{2} \right)$
Vậy $P=0+\dfrac{3}{2}-\dfrac{1}{2}=1$
Đáp án C.