Google
Câu hỏi: Trong không gian Oxyz, cho đường thẳng d: $\left\{ \begin{aligned}
& x=1+2t \\
& y=1-t \\
& z=t \\
\end{aligned} \right. $ và hai điểm $ A\left( 1;0;-1 \right) $, $ B\left( 2;1;1 \right) $. Điểm $ M\left( x;y;z \right) $ thuộc đường thẳng d sao cho $ \left| MA-MB \right| $ lớn nhất. Tính giá trị của biểu thức $ P={{x}^{2}}+{{y}^{2}}+{{z}^{2}}$.
A. 30.
B. 10.
C. 22.
D. 6.
& x=1+2t \\
& y=1-t \\
& z=t \\
\end{aligned} \right. $ và hai điểm $ A\left( 1;0;-1 \right) $, $ B\left( 2;1;1 \right) $. Điểm $ M\left( x;y;z \right) $ thuộc đường thẳng d sao cho $ \left| MA-MB \right| $ lớn nhất. Tính giá trị của biểu thức $ P={{x}^{2}}+{{y}^{2}}+{{z}^{2}}$.
A. 30.
B. 10.
C. 22.
D. 6.
Do $M\in d$ nên $M\left( 1+2t;1-t;t \right)$.
$MA-MB=\sqrt{4{{t}^{2}}+{{\left( t-1 \right)}^{2}}+{{\left( t+1 \right)}^{2}}}-\sqrt{{{\left( 2t-1 \right)}^{2}}+{{t}^{2}}+{{\left( t-1 \right)}^{2}}}$
$=\sqrt{6{{t}^{2}}+2}-\sqrt{6{{t}^{2}}-6t+2}=\sqrt{6{{t}^{2}}+2}-\sqrt{6{{\left( t-\dfrac{1}{2} \right)}^{2}}+\dfrac{1}{2}}$
Chọn $\vec{u}=\left( \sqrt{6}t;\sqrt{2} \right)$ ; $\vec{v}=\left( \sqrt{6}\left( t-\dfrac{1}{2} \right);\dfrac{1}{\sqrt{2}} \right)\Rightarrow \vec{u}-\vec{v}=\left( \dfrac{\sqrt{6}}{2};\dfrac{1}{\sqrt{2}} \right)$.
Ta có: $\left| MA-MB \right|=\left| \left| {\vec{u}} \right|-\left| {\vec{v}} \right| \right|\le \left| \vec{u}-\vec{v} \right|=\sqrt{\dfrac{6}{4}+\dfrac{1}{2}}=\sqrt{2}$
Dấu đẳng thức xảy ra $\Leftrightarrow $ $\vec{u}$ và $\vec{v}$ cùng hướng $\Leftrightarrow \dfrac{\sqrt{6}t}{\sqrt{6}\left( t-\dfrac{1}{2} \right)}=\dfrac{\sqrt{2}}{\dfrac{1}{\sqrt{2}}}\Leftrightarrow t=1$
Vậy $\left| MA-MB \right|$ lớn nhất khi $M\left( 3;0;1 \right)$ suy ra $P={{3}^{2}}+{{0}^{2}}+{{1}^{2}}=10$.
$MA-MB=\sqrt{4{{t}^{2}}+{{\left( t-1 \right)}^{2}}+{{\left( t+1 \right)}^{2}}}-\sqrt{{{\left( 2t-1 \right)}^{2}}+{{t}^{2}}+{{\left( t-1 \right)}^{2}}}$
$=\sqrt{6{{t}^{2}}+2}-\sqrt{6{{t}^{2}}-6t+2}=\sqrt{6{{t}^{2}}+2}-\sqrt{6{{\left( t-\dfrac{1}{2} \right)}^{2}}+\dfrac{1}{2}}$
Chọn $\vec{u}=\left( \sqrt{6}t;\sqrt{2} \right)$ ; $\vec{v}=\left( \sqrt{6}\left( t-\dfrac{1}{2} \right);\dfrac{1}{\sqrt{2}} \right)\Rightarrow \vec{u}-\vec{v}=\left( \dfrac{\sqrt{6}}{2};\dfrac{1}{\sqrt{2}} \right)$.
Ta có: $\left| MA-MB \right|=\left| \left| {\vec{u}} \right|-\left| {\vec{v}} \right| \right|\le \left| \vec{u}-\vec{v} \right|=\sqrt{\dfrac{6}{4}+\dfrac{1}{2}}=\sqrt{2}$
Dấu đẳng thức xảy ra $\Leftrightarrow $ $\vec{u}$ và $\vec{v}$ cùng hướng $\Leftrightarrow \dfrac{\sqrt{6}t}{\sqrt{6}\left( t-\dfrac{1}{2} \right)}=\dfrac{\sqrt{2}}{\dfrac{1}{\sqrt{2}}}\Leftrightarrow t=1$
Vậy $\left| MA-MB \right|$ lớn nhất khi $M\left( 3;0;1 \right)$ suy ra $P={{3}^{2}}+{{0}^{2}}+{{1}^{2}}=10$.
Đáp án B.