Trong không gian Oxyz, cho đường thẳng d là giao tuyến của hai mặt...

Xét hai cách giải sau :
Cách 1 : Đường thẳng d có một vectơ chỉ phương là $\overrightarrow{u}=\dfrac{1}{2}\left[ \overrightarrow{{{n}_{P}}},\overrightarrow{{{n}_{Q}}} \right]=\left( 1;0;-1 \right).$
Dễ thấy điểm $I\left( 0;-1;4 \right)$ thuộc cả $\left( P \right)$ và $\left( Q \right)$ nên $I\in d.$
Mặt phẳng $\left( \alpha \right)$ nhận $\overrightarrow{n}=-\left[ \overrightarrow{u};\overrightarrow{OI} \right]=\left( 1;4;1 \right)$ làm vectơ pháp tuyến. Do $\left( \alpha \right)$ đi qua gốc tọa độ nên $\left( \alpha \right)$ có phương trình là $x+4y+z=0.$

Cách 2 : Vì mặt phẳng $\left( \alpha \right)$ chứa đường thẳng d nên $\left( \alpha \right)$ có phương trình
$m\left( x+y+z-3 \right)+n\left( x-y+z-5 \right)=0,$ với ${{m}^{2}}+{{n}^{2}}\ne 0.$
Vì $O\in \left( \alpha \right)$ nên $-3m-5n=0\Leftrightarrow 3m+5n=0.$
Chọn $m=5,n=-3$ thì $\left( \alpha \right)$ có phương trình là $x+4y+z=0.$