Google
Câu hỏi: Trong không gian $Oxyz$, cho đường thẳng $d$ có phương trình $\left( d \right): \dfrac{x-1}{2}=\dfrac{y}{1}=\dfrac{z+2}{-2}$ và mặt phẳng $\left( P \right): x-2y+z-1=0$. Hỏi có tất cả bao nhiêu giá trị nguyên của $\alpha $ để tồn tại một mặt phẳng $\left( Q \right)$ chứa $d$ tạo với $\left( P \right)$ một góc $\alpha {}^\circ $.
A. $75$.
B. $76$.
C. $77$.
D. $74$.
Gọi $A=d\cap \left( P \right)$ và $K$ là một điểm tùy ý trên $d \left( K\ne A \right)$, $\Delta $ là giao tuyến của $\left( P \right) v\grave{a} \left( Q \right).$
Gọi $H$ và $I$ lần lượt là hình chiếu của $K$ trên $\left( P \right) v\grave{a} \Delta .$
Gọi $\varphi =\widehat{\left( d;\left( P \right) \right)}=\widehat{KAH}$ và $\alpha =\widehat{\left( \left( P \right);\left( Q \right) \right)}=\widehat{KIH}$.
Ta có : $KH\le KI\le KA$ mà $\sin \alpha =\dfrac{KH}{KI}$ nên $\dfrac{KH}{KA}\le \sin \alpha =\dfrac{KH}{KI}\le \dfrac{KH}{KH}$ $\Leftrightarrow \sin \varphi \le \sin \alpha \le 1.$
Mặt khác : $\sin \varphi =\dfrac{\left| \overrightarrow{{{u}_{d}}}.\overrightarrow{{{n}_{P}}} \right|}{\left| \overrightarrow{{{u}_{d}}} \right|.\left| \overrightarrow{{{n}_{P}}} \right|}$ $=\dfrac{\sqrt{6}}{9}$ với $\overrightarrow{{{u}_{d}}}\left( 2;1;-2 \right)$ là vectơ chỉ phương của đường thẳng $d$ và $\overrightarrow{{{n}_{P}}}\left( 1;-2;1 \right)$ là vectơ pháp tuyến của mặt phẳng $\left( P \right)$.
Do đó $\dfrac{\sqrt{6}}{9}\le \sin \alpha \le 1\Leftrightarrow 15,8{}^\circ \le \alpha \le 90{}^\circ \overset{{}}{\mathop{\xrightarrow{\alpha \in \mathbb{Z}}}} \alpha \in \left\{ 16;17;...90 \right\}$.
Vậy có 75 số $\alpha $ thỏa mãn yêu cầu bài toán.
A. $75$.
B. $76$.
C. $77$.
D. $74$.
Gọi $H$ và $I$ lần lượt là hình chiếu của $K$ trên $\left( P \right) v\grave{a} \Delta .$
Gọi $\varphi =\widehat{\left( d;\left( P \right) \right)}=\widehat{KAH}$ và $\alpha =\widehat{\left( \left( P \right);\left( Q \right) \right)}=\widehat{KIH}$.
Ta có : $KH\le KI\le KA$ mà $\sin \alpha =\dfrac{KH}{KI}$ nên $\dfrac{KH}{KA}\le \sin \alpha =\dfrac{KH}{KI}\le \dfrac{KH}{KH}$ $\Leftrightarrow \sin \varphi \le \sin \alpha \le 1.$
Mặt khác : $\sin \varphi =\dfrac{\left| \overrightarrow{{{u}_{d}}}.\overrightarrow{{{n}_{P}}} \right|}{\left| \overrightarrow{{{u}_{d}}} \right|.\left| \overrightarrow{{{n}_{P}}} \right|}$ $=\dfrac{\sqrt{6}}{9}$ với $\overrightarrow{{{u}_{d}}}\left( 2;1;-2 \right)$ là vectơ chỉ phương của đường thẳng $d$ và $\overrightarrow{{{n}_{P}}}\left( 1;-2;1 \right)$ là vectơ pháp tuyến của mặt phẳng $\left( P \right)$.
Do đó $\dfrac{\sqrt{6}}{9}\le \sin \alpha \le 1\Leftrightarrow 15,8{}^\circ \le \alpha \le 90{}^\circ \overset{{}}{\mathop{\xrightarrow{\alpha \in \mathbb{Z}}}} \alpha \in \left\{ 16;17;...90 \right\}$.
Vậy có 75 số $\alpha $ thỏa mãn yêu cầu bài toán.
Đáp án A.