Google
Câu hỏi: Trong không gian Oxyz, cho điểm M thuộc mặt cầu (S) có phương trình ${{\left( x-3 \right)}^{2}}+{{\left( y-3 \right)}^{2}}+{{\left( z-2 \right)}^{2}}=9$ và ba điểm $A\left( 1;0;0 \right)$, $B\left( 2;1;3 \right)$ ; $C\left( 0;2;-3 \right)$. Biết rằng quỹ tích các điểm M thỏa mãn $M{{A}^{2}}+2\overrightarrow{MB}.\overrightarrow{MC}=8$ là một đường tròn cố định, tính bán kính r đường tròn này.
A. $r=\sqrt{3}.$
B. $r=6.$
C. $r=3.$
D. $r=\sqrt{6}.$
A. $r=\sqrt{3}.$
B. $r=6.$
C. $r=3.$
D. $r=\sqrt{6}.$
Mặt cầu $\left( S \right)$ có tâm $I\left( 3;3;2 \right)$ và bán kính $R=3$.
Gọi $M\left( x;y;z \right)$, ta có $M{{A}^{2}}={{\left( 1-x \right)}^{2}}+{{y}^{2}}+{{z}^{2}}={{x}^{2}}+{{y}^{2}}+{{z}^{2}}-2\text{x}+1$.
$\left\{ \begin{aligned}
& \overrightarrow{MB}=\left( 2-x;1-y;3-z \right) \\
& \overrightarrow{MC}=\left( -x;2-y;-3-z \right) \\
\end{aligned} \right.\Rightarrow \overrightarrow{MB}.\overrightarrow{MC}={{x}^{2}}+{{y}^{2}}+{{z}^{2}}-3\text{x}-3y-7$
Khi đó $M{{A}^{2}}+2\overrightarrow{MB}.\overrightarrow{MC}=8\Leftrightarrow 3{{\text{x}}^{2}}+3{{y}^{2}}+3{{\text{z}}^{2}}-6\text{x}-6y-21=0$
$\Leftrightarrow {{x}^{2}}+{{y}^{2}}+{{z}^{2}}-2\text{x}-2y-7=0\Rightarrow M$ thuộc mặt cầu $\left( {{S}'} \right)$ có tâm ${I}'\left( 1;1;0 \right)$, bán kính ${R}'=3$.
Như vậy $M\in \left( S \right)\cap \left( {{S}'} \right)$, tập hợp các điểm M thỏa mãn bài toán là đường tròn $\left( C \right)$ có tâm H là trung điểm của đoạn thẳng $I{I}'$ (vì $R={R}'=3$ ).
Bán kính của đường tròn $\left( C \right)$ là $r=\sqrt{{{R}^{2}}-I{{H}^{2}}}=\sqrt{6}$.
Gọi $M\left( x;y;z \right)$, ta có $M{{A}^{2}}={{\left( 1-x \right)}^{2}}+{{y}^{2}}+{{z}^{2}}={{x}^{2}}+{{y}^{2}}+{{z}^{2}}-2\text{x}+1$.
$\left\{ \begin{aligned}
& \overrightarrow{MB}=\left( 2-x;1-y;3-z \right) \\
& \overrightarrow{MC}=\left( -x;2-y;-3-z \right) \\
\end{aligned} \right.\Rightarrow \overrightarrow{MB}.\overrightarrow{MC}={{x}^{2}}+{{y}^{2}}+{{z}^{2}}-3\text{x}-3y-7$
Khi đó $M{{A}^{2}}+2\overrightarrow{MB}.\overrightarrow{MC}=8\Leftrightarrow 3{{\text{x}}^{2}}+3{{y}^{2}}+3{{\text{z}}^{2}}-6\text{x}-6y-21=0$
$\Leftrightarrow {{x}^{2}}+{{y}^{2}}+{{z}^{2}}-2\text{x}-2y-7=0\Rightarrow M$ thuộc mặt cầu $\left( {{S}'} \right)$ có tâm ${I}'\left( 1;1;0 \right)$, bán kính ${R}'=3$.
Như vậy $M\in \left( S \right)\cap \left( {{S}'} \right)$, tập hợp các điểm M thỏa mãn bài toán là đường tròn $\left( C \right)$ có tâm H là trung điểm của đoạn thẳng $I{I}'$ (vì $R={R}'=3$ ).
Bán kính của đường tròn $\left( C \right)$ là $r=\sqrt{{{R}^{2}}-I{{H}^{2}}}=\sqrt{6}$.
Đáp án D.