Google
Câu hỏi: Trong không gian Oxyz, cho điểm $M\left( 2;1;1 \right)$. Phương trình mặt phẳng (P) đi qua M và cắt ba tia Ox, Oy, Oz lần lượt tại các điểm A, B, C khác gốc O sao cho thể tích khối tứ diện OABC nhỏ nhất là
A. $2x-y+2z-3=0.$
B. $4x-y-z-6=0.$
C. $2x+y+2z-6=0.$
D. $x+2y+2z-6=0.$
A. $2x-y+2z-3=0.$
B. $4x-y-z-6=0.$
C. $2x+y+2z-6=0.$
D. $x+2y+2z-6=0.$
Gọi $A\left( a;0;0 \right),B\left( 0;b;0 \right),C\left( 0;0;c \right)$
Do A, B, C thuộc ba tia Ox, Oy, Oz nên $a,b,c>0$
Phương trình mặt phẳng (P) theo đoạn chắn có dạng $\dfrac{x}{a}+\dfrac{y}{b}+\dfrac{z}{c}=1$
Vì $M\left( 2;1;1 \right)\in \left( P \right)\Rightarrow \dfrac{2}{a}+\dfrac{1}{b}+\dfrac{1}{c}=1$
Áp dụng bất đẳng thức Cosi cho 3 số dương $\dfrac{2}{a};\dfrac{1}{b};\dfrac{1}{c}$ ta có: $1=\dfrac{2}{a}+\dfrac{1}{b}+\dfrac{1}{c}\ge 3\sqrt[3]{\dfrac{2}{abc}}\Rightarrow abc\ge 54$
Dấu "=" xảy ra khi $\dfrac{2}{a}=\dfrac{1}{b}=\dfrac{1}{c}=\dfrac{1}{3}\Rightarrow \left\{ \begin{aligned}
& a=6 \\
& b=c=3 \\
\end{aligned} \right.$
Suy ra ${{V}_{O.ABC}}=\dfrac{abc}{6}\ge 9$
Vậy $\left( P \right):\dfrac{x}{6}+\dfrac{y}{3}+\dfrac{z}{3}=1\Leftrightarrow x+2y+2z-6=0$
Do A, B, C thuộc ba tia Ox, Oy, Oz nên $a,b,c>0$
Phương trình mặt phẳng (P) theo đoạn chắn có dạng $\dfrac{x}{a}+\dfrac{y}{b}+\dfrac{z}{c}=1$
Vì $M\left( 2;1;1 \right)\in \left( P \right)\Rightarrow \dfrac{2}{a}+\dfrac{1}{b}+\dfrac{1}{c}=1$
Áp dụng bất đẳng thức Cosi cho 3 số dương $\dfrac{2}{a};\dfrac{1}{b};\dfrac{1}{c}$ ta có: $1=\dfrac{2}{a}+\dfrac{1}{b}+\dfrac{1}{c}\ge 3\sqrt[3]{\dfrac{2}{abc}}\Rightarrow abc\ge 54$
Dấu "=" xảy ra khi $\dfrac{2}{a}=\dfrac{1}{b}=\dfrac{1}{c}=\dfrac{1}{3}\Rightarrow \left\{ \begin{aligned}
& a=6 \\
& b=c=3 \\
\end{aligned} \right.$
Suy ra ${{V}_{O.ABC}}=\dfrac{abc}{6}\ge 9$
Vậy $\left( P \right):\dfrac{x}{6}+\dfrac{y}{3}+\dfrac{z}{3}=1\Leftrightarrow x+2y+2z-6=0$
Đáp án D.