Google
Câu hỏi: Trong không gian Oxyz, cho điểm $M\left( 2;1;1 \right)$ ; mặt phẳng $\left( \alpha \right)$ : $x+y+z-4=0$ và mặt cầu $\left( S \right)$ : ${{x}^{2}}+{{y}^{2}}+{{z}^{2}}-6x-6y-8z+18=0$. Phương trình đường thẳng $\Delta $ đi qua M và nằm trong $\left( \alpha \right)$ cắt mặt cầu $\left( S \right)$ theo một đoạn thẳng có độ dài nhỏ nhất là
A. $\dfrac{x-2}{1}=\dfrac{y-1}{-2}=\dfrac{z-1}{1}$.
B. $\dfrac{x-2}{-1}=\dfrac{y-1}{-2}=\dfrac{z-1}{1}$.
C. $\dfrac{x-2}{1}=\dfrac{y-1}{2}=\dfrac{z-1}{1}$.
D. $\dfrac{x-2}{1}=\dfrac{y-1}{-2}=\dfrac{z-1}{-1}$.
A. $\dfrac{x-2}{1}=\dfrac{y-1}{-2}=\dfrac{z-1}{1}$.
B. $\dfrac{x-2}{-1}=\dfrac{y-1}{-2}=\dfrac{z-1}{1}$.
C. $\dfrac{x-2}{1}=\dfrac{y-1}{2}=\dfrac{z-1}{1}$.
D. $\dfrac{x-2}{1}=\dfrac{y-1}{-2}=\dfrac{z-1}{-1}$.
Mặt cầu $\left( S \right)$ có tâm $I\left( 3;3;4 \right)$ và có bán kính $R=4$.
$IM=\sqrt{{{\left( 3-2 \right)}^{2}}+{{\left( 3-1 \right)}^{2}}+{{\left( 4-1 \right)}^{2}}}=\sqrt{14}<R\Rightarrow $ M nằm trong mặt cầu $\left( S \right)$.
Để $\Delta $ cắt mặt cầu theo một đoạn thẳng có độ dài thì khoảng cách từ I đến $\Delta $ lớn nhất. Khi đó $IM\bot \Delta $.
Gọi vectơ chỉ phương của $\Delta $ là $\vec{u}$ ta có $\left\{ \begin{aligned}
& \Delta \subset \left( \alpha \right) \\
& \Delta \bot MI \\
\end{aligned} \right.\Rightarrow \left\{ \begin{aligned}
& \vec{u}\bot \overrightarrow{{{n}_{\alpha }}} \\
& \vec{u}\bot \overrightarrow{MI} \\
\end{aligned} \right.\Rightarrow \vec{u}=\left[ \overrightarrow{{{n}_{\alpha }}},\overrightarrow{MI} \right]=\left( 1;-2;1 \right)$
Đường thẳng $\Delta $ qua $M\left( 2;1;1 \right)$ và có vectơ chỉ phương $\vec{u}=\left( 1;-2;1 \right)$ là $\dfrac{x-2}{1}=\dfrac{y-1}{-2}=\dfrac{z-1}{-1}$
$IM=\sqrt{{{\left( 3-2 \right)}^{2}}+{{\left( 3-1 \right)}^{2}}+{{\left( 4-1 \right)}^{2}}}=\sqrt{14}<R\Rightarrow $ M nằm trong mặt cầu $\left( S \right)$.
Để $\Delta $ cắt mặt cầu theo một đoạn thẳng có độ dài thì khoảng cách từ I đến $\Delta $ lớn nhất. Khi đó $IM\bot \Delta $.
Gọi vectơ chỉ phương của $\Delta $ là $\vec{u}$ ta có $\left\{ \begin{aligned}
& \Delta \subset \left( \alpha \right) \\
& \Delta \bot MI \\
\end{aligned} \right.\Rightarrow \left\{ \begin{aligned}
& \vec{u}\bot \overrightarrow{{{n}_{\alpha }}} \\
& \vec{u}\bot \overrightarrow{MI} \\
\end{aligned} \right.\Rightarrow \vec{u}=\left[ \overrightarrow{{{n}_{\alpha }}},\overrightarrow{MI} \right]=\left( 1;-2;1 \right)$
Đường thẳng $\Delta $ qua $M\left( 2;1;1 \right)$ và có vectơ chỉ phương $\vec{u}=\left( 1;-2;1 \right)$ là $\dfrac{x-2}{1}=\dfrac{y-1}{-2}=\dfrac{z-1}{-1}$
Đáp án D.