Google
Câu hỏi: Trong không gian $Oxyz$, cho điểm $M\left( 2;1;1 \right)$, mặt phẳng $\left( \alpha \right):x+y+z-4=0$ và mặt cầu $\left( S \right):{{\left( x-3 \right)}^{2}}+{{\left( y-3 \right)}^{2}}+{{\left( z-4 \right)}^{2}}=16$. Phương trình đường thẳng $\Delta $ đi qua $M$ và nằm trong $\left( \alpha \right)$ cắt mặt cầu $\left( S \right)$ theo một đoạn thẳng có độ dài nhỏ nhất. Đường thẳng $\Delta $ đi qua điểm nào trong các điểm sau đây?
A. $\left( 4;-3;3 \right)$.
B. $\left( 4;-3;-3 \right)$.
C. $\left( 4;3;3 \right)$.
D. $\left( -4;-3;-3 \right)$.
A. $\left( 4;-3;3 \right)$.
B. $\left( 4;-3;-3 \right)$.
C. $\left( 4;3;3 \right)$.
D. $\left( -4;-3;-3 \right)$.
Mặt cầu $\left( S \right)$ có tâm $I\left( 3;3;4 \right)$, mặt phẳng $\left( \alpha \right)$ có vectơ pháp tuyến là $\overrightarrow{n}=\left( 1;1;1 \right)$, $\overrightarrow{MI}=\left( 1;2;3 \right)$.
Gọi $H$ là hình chiếu vuông góc của $I$ lên $\Delta $. Khi đó $d\left( I,\Delta \right)=IH\le IM$.
Để $\Delta $ cắt mặt cầu $\left( S \right)$ theo một đoạn thẳng có độ dài nhỏ nhất $\Leftrightarrow d\left( I,\Delta \right)$ lớn nhất $\Leftrightarrow \Delta \bot IM$
Khi đó $\Delta $ có vectơ chỉ phương là $\overrightarrow{u}=\left[ \overrightarrow{n},\overrightarrow{MI} \right]=\left( 1;-2;1 \right)$.
Phương trình đường thẳng $\Delta $ là $\left\{ \begin{aligned}
& x=2+t \\
& y=1-2t \\
& z=1+t \\
\end{aligned} \right. $. Do đó $ \Delta $ đi qua điểm có tọa độ $ \left( 4;-3;3 \right)$.
Để $\Delta $ cắt mặt cầu $\left( S \right)$ theo một đoạn thẳng có độ dài nhỏ nhất $\Leftrightarrow d\left( I,\Delta \right)$ lớn nhất $\Leftrightarrow \Delta \bot IM$
Khi đó $\Delta $ có vectơ chỉ phương là $\overrightarrow{u}=\left[ \overrightarrow{n},\overrightarrow{MI} \right]=\left( 1;-2;1 \right)$.
Phương trình đường thẳng $\Delta $ là $\left\{ \begin{aligned}
& x=2+t \\
& y=1-2t \\
& z=1+t \\
\end{aligned} \right. $. Do đó $ \Delta $ đi qua điểm có tọa độ $ \left( 4;-3;3 \right)$.
Đáp án A.