Trong không gian $Oxyz,$ cho điểm $M\left( 1; 3 ; 3 \right)$ và...

Đường thẳng $\Delta $ có một véc tơ chỉ phương là $\overrightarrow{u}=\left( -2;1;-1 \right)$. Gọi $H$ là hình chiếu của điểm $M$ lên đường thẳng $\Delta $, khi đó $H\left( 1-2t; t ;3-t \right)\Rightarrow \overrightarrow{MH}=\left( -2t;t-3;-t \right)$. Hơn nữa $\overrightarrow{MH}.\overrightarrow{u}=0\Leftrightarrow 4t+t-3+t=0\Leftrightarrow t=\dfrac{1}{2}\Rightarrow H\left( 0;\dfrac{1}{2};\dfrac{5}{2} \right)$
Gọi ${{M}_{1}}\left( {{x}_{1}};y{}_{1};{{z}_{1}} \right)$ là điểm đối xứng của $M$ qua đường thẳng $\Delta $ khi đó điểm $H$ là trung điểm của $M{{M}_{1}}$, suy ra $\left\{ \begin{aligned}
& {{x}_{1}}=2{{x}_{H}}-{{x}_{M}} \\
& {{y}_{1}}=2{{y}_{H}}-{{y}_{M}} \\
& {{z}_{1}}=2{{z}_{H}}-{{z}_{M}} \\
\end{aligned} \right.\Rightarrow \left\{ \begin{aligned}
& {{x}_{1}}=0-1 \\
& {{y}_{1}}=2.\dfrac{1}{2}-3 \\
& {{z}_{1}}=2.\dfrac{5}{2}-3 \\
\end{aligned} \right.\Leftrightarrow \left\{ \begin{aligned}
& {{x}_{1}}=-1 \\
& {{y}_{1}}=-2 \\
& {{z}_{1}}=2 \\
\end{aligned} \right.$.
Vậy tọa độ điểm ${{M}_{1}}\left( -1;-2;2 \right)$.