Google
Câu hỏi: Trong không gian Oxyz, cho điểm $M\left( 1;-3;2 \right)$. Có bao nhiêu mặt phẳng đi qua M và cắt các trục tọa độ tại A, B, C thỏa mãn $OA=OB=OC\ne 0$ ?
A. 1.
B. 2.
C. 3.
D. 4.
A. 1.
B. 2.
C. 3.
D. 4.
Giả sử mặt phẳng $\left( \alpha \right)$ cần tìm cắt Ox, Oy, Oz lần lượt tại $A\left( a;0;0 \right),B\left( 0;b;0 \right),C\left( 0;0;c \right)$.
Điều kiện $\left( a,b,c\ne 0 \right)$. Phương trình mặt phẳng $\left( \alpha \right):\dfrac{x}{a}+\dfrac{y}{b}+\dfrac{z}{c}=1.$
Mặt phẳng $\left( \alpha \right)$ đi qua nên $\left( \alpha \right):\dfrac{1}{a}-\dfrac{3}{b}+\dfrac{2}{c}=1\ \ \ \ \ \left( * \right)$
Theo bài ra $OA=OB=OC\ne 0\Rightarrow \left| a \right|=\left| b \right|=\left| c \right|\ne 0\Rightarrow \left[ \begin{aligned}
& a=b=c\ \ \ \ \ \ \ \left( 1 \right) \\
& a=b=-c\ \ \ \ \ \left( 2 \right) \\
& a=-b=c\ \ \ \ \ \left( 3 \right) \\
& a=-b=-c\ \ \ \left( 4 \right) \\
\end{aligned} \right..$
Thay (1) vào (*), ta có phương trình vô nghiệm.
Thay (2), (3), (4) vào (*), ta được tương ứng $a=-4,a=6,a=-\dfrac{3}{4}$.
Vậy có 3 mặt phẳng thỏa mãn yêu cầu đề bài.
Điều kiện $\left( a,b,c\ne 0 \right)$. Phương trình mặt phẳng $\left( \alpha \right):\dfrac{x}{a}+\dfrac{y}{b}+\dfrac{z}{c}=1.$
Mặt phẳng $\left( \alpha \right)$ đi qua nên $\left( \alpha \right):\dfrac{1}{a}-\dfrac{3}{b}+\dfrac{2}{c}=1\ \ \ \ \ \left( * \right)$
Theo bài ra $OA=OB=OC\ne 0\Rightarrow \left| a \right|=\left| b \right|=\left| c \right|\ne 0\Rightarrow \left[ \begin{aligned}
& a=b=c\ \ \ \ \ \ \ \left( 1 \right) \\
& a=b=-c\ \ \ \ \ \left( 2 \right) \\
& a=-b=c\ \ \ \ \ \left( 3 \right) \\
& a=-b=-c\ \ \ \left( 4 \right) \\
\end{aligned} \right..$
Thay (1) vào (*), ta có phương trình vô nghiệm.
Thay (2), (3), (4) vào (*), ta được tương ứng $a=-4,a=6,a=-\dfrac{3}{4}$.
Vậy có 3 mặt phẳng thỏa mãn yêu cầu đề bài.
Đáp án C.