Trong không gian $Oxyz,$ cho điểm $M\left( 1;-2;4 \right).$ Gọi $\left( \alpha \right)$ là mặt phẳng qua $M$ cắt các tia $Ox,Oy,Oz$ lần lượt tại...

Vì $\left( \alpha \right)$ là mặt phẳng qua $M$ cắt các tia $Ox,Oy,Oz$ lần lượt tại $A,B,C$ nên giả sử phương trình mặt phẳng $\left( \alpha \right)$ là $\dfrac{x}{a}+\dfrac{y}{b}+\dfrac{z}{c}=1,$ với $a>0,b>0,c>0.$
Khi đó, ta có:
+) $OA=a,OB=b,OC=c$
+) Vì $OA,OB,OC$ theo thứ tự lập thành một cấp số nhân có công bội bằng 2 nên $\left\{ \begin{aligned}
& b=2a \\
& c=4a \\
\end{aligned} \right.$
+) $\left( \alpha \right)$ qua $M\left( 1;-2;4 \right)$ nên ta có: $\dfrac{1}{a}+\dfrac{-2}{b}+\dfrac{4}{c}=1.$
Do đó, ta có hệ phương trình $\left\{ \begin{aligned}
& b=2a \\
& c=4a \\
& \dfrac{1}{a}+\dfrac{-2}{b}+\dfrac{4}{c}=1 \\
\end{aligned} \right.\Leftrightarrow \left\{ \begin{aligned}
& a=1 \\
& b=2 \\
& c=4 \\
\end{aligned} \right.$
Phương trình mặt phẳng $\left( \alpha \right):\dfrac{x}{1}+\dfrac{y}{2}+\dfrac{z}{4}=1$ hay $4x+2y+z-4=0$
$d\left( O;\left( \alpha \right) \right)=\dfrac{\left| 4.0+2.0+0-4 \right|}{\sqrt{{{4}^{2}}+{{2}^{2}}+{{1}^{2}}}}=\dfrac{4}{\sqrt{21}}.$